词汇表

选择左侧的一个关键字...

概率引言

阅读时间: ~15 min

概率与可能性无处不在,从天气预报到游戏,从保险到选举投票。然而,在数学史上,概率实际上是一个非常新的概念,虽然2500多年前古希腊数学家就开始研究数字和几何,但概率的概念即是在17、18世纪才出现的。

据传说,两位最伟大的数学家,布莱兹.帕斯卡皮埃尔.费马会定期在巴黎的一家小咖啡馆见面。

为了把注意力从他们正在讨论的复杂数学理论上转移开,他们经常玩一个简单的游戏:重复抛硬币 -- 每次 正面 向上帕斯卡就得一分,每次 反面 向上费马就得一分,抛三次,谁的得分少谁就值钱。

有一天,他们在抛完第一次硬币后不得不结束,费马有争事要离开,后来,他们又想知道该由谁来买单,或者是否有一个公平的分摊方式。第一次硬币正面 向上 (帕斯卡得一分),所以也许费马应该来全部支付,然而,如果 反面 ,费马还是有可能会赢。

帕斯卡和费马决定将继续游戏所有的可能性全部写下来:

HHH

帕斯卡赢

HHT

帕斯卡赢

HTH

帕斯卡赢

HTT

费马赢

这四种结果的可能性都是相等的,这其中有情况帕斯卡会赢。因此他们决定费马应该支付帐单的 3/4,帕斯卡应该支付 1/4。

帕斯卡和费马发现了概率的的第一个重要公式:如果一个实验有多种可能的结果,而且这些结果的可能性都是相等的,那么

事件的概率 = 事件可能发生的次数可能结果的总数.

在我们的例子,帕斯卡赢得游戏的概率是 34=0.75,费马赢得游戏的概率是 14=0.25

什么是概率

概率 是介绍于 0 和 1 之间的一个数字,用来描述 特定事件 发生的可能性。概率为 0 意味着某件事 不可能 发生;概率为 1 意味某件事 必然 会发生。

例如,你遇见一条真正的龙是 ,太阳明天将会升起是 。硬币落地时正面朝上的概率刚好是

掷一个骰子刚掷出 6 的概率或者从一幅牌中抽出特定花色的概率 0.5 -- 这意味着不太可能。一支优秀球队赢得一场比赛的概率或者一列火车准点到达的概率 0.5 -- 这意味着很大可能。

dragondicecardscoinsfootballtrainsun

现在将下列事件按正确顺序拖动,按可能到不可能依次排序:

掷一个骰子 game_die ,刚好得到 6 点
企鹅 penguin 住在北极
11月将要下雨 rain_cloud
今天在中国将诞生一个婴儿 baby_bottle
你买了一张彩票,中了头奖 tada.
一个新生儿是女孩 girl.

我们在日常生活中经常会使用到概率和可能性,通常会不加思考。明天下雨的有多大可能?错过公共汽车的可能性?赢得一场比赛的概率是多少?

抛一枚(均匀的)硬币有两种结果,正面反面_, 它们的可能性相等。根据上面的公式, _正面 朝上的概率一定为 12 = 0.5, or 50%。

请注意,概率值 介于 0 和 1 之间,即使只有一种实际结果发生。概率与实际结果几乎没有关系:如果我们掷一枚硬币多次,我们知道的结果是下面朝上,但我们无法准确预测哪一次是正面朝上的。

即使概率很小的事件(比如中彩票)仍然可能发生 -- 而且它们确实 一直在发生 (只是发生在参与者中极少数人身上)。

概率也取决于我们每个人对事件的熟悉程度,例如,你可能会估计今天下雨的概率是 70%,一个有更详细天气数据的气象学家可能会说下雨的概率是 64.2%。

或者假设我抛一枚硬币,然后用手盖住 -- 反面朝上概率为 50%,现在我偷看了一下结果,但不告诉你。对我来说知道了确定的结果,但对你来说,概率

有多种不同的方式来思考概率,但在实践中,它们得到的结果都一样:

classical probability

The classical probability of landing heads is the proportion of possible outcomes that are heads. 正面朝上的 古典 概率是正面朝上的可能结果的比例

frequentist probability

The frequentist probability is the proportion of heads we get if we toss the coin many times. 频率概率 是如果我们抛 多次 硬币得到正面的比例

subjectivist probability

The subjectivist probability tells us how strongly we believe that the coin will land heads. 主观概率 是我们有多么 坚信 正面会朝上

Remember that while probabilities are great for estimating and forecasting, we can never tell what actually will happen.

预测未来

如果掷一个骰子,结果是1到6之间的一个数字,所有的结果都是等可能的。如果我们一次掷两个骰子,把它们的结果加起来,我们可以得到从的数字。然而,在这种情况下,它们并不是等可能的。

有些结果只能发生一次(得到 12 你必须掷出 + ),而有些结果可能发生多次(得到 5 你可以掷出 + + )。

下面的列表显示了所有可能的结果:

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

掷两个骰子,最有可能得到的结果是 7 ,有 种可能的结果加起来是 7,可能结果的总数是 因为得到 7 的概率是 636=0.1666

可能性最低的结果是 212 ,它们各自的概率均为 136=0.0277

要预测一次抛硬币或掷骰子的结果是不可能的,然后,运用概率我们可以非常准确地预测 多次 的结果。

如果我们掷 30 次骰子,我们知道大约会有 16×30=5 次得到 6,如果我们掷 300 次,大约会有 16×300=50 次得到 6,随着我们不断地重复掷骰子,预测的结果会越来越准。

在这个动画中,你可以一次掷出多个“虚拟”骰子,查看一下结果与概率预测的比较:

Rolling Dice

我们一次掷出 ${d} 个骰子,记录它们结果的 总和 绿线 代表通过概率理论算出的每种可能结果的概率, 蓝条 显示了在计算生成的实验中每个结果实际发生的频率。

注意,随着我们掷出越来越多的骰子,观察到的频率与通过概率预测的频率越来越接近。这个原则适用于所有的概率实验,被称为 大数定律

类似地,当我们增加一次掷出的骰子数量时,你还可以看到概率从一条直线(一个骰子)变为一个三角形(两个骰子),最后变为一条 "钟形"曲线,这就是所谓的 中心极限定理,钟形曲线被称为 正态分布