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分形简介

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环顾大自然时,您可能已经注意到像这样的复杂植物:

由许多小叶子组成,这些小叶子分支成较大的叶子。

罗马花椰菜 由较小的围绕较大的锥体螺旋形组成。

最初看起来像是非常复杂的形状-但是当您仔细观察时,您可能会注意到它们都遵循相对简单的模式:植物的所有个独立部分看起来与整个植物完全相同植物,只是较小。一遍又一遍地以较小的比例重复相同的模式。

在数学中,我们将此属性称为 自相似性,并将具有此属性的形状称为分形。它们是所有数学中最美丽,最奇怪的对象。

要创建自己的分形,我们必须从一个简单的图案开始,然后以较小的比例重复一遍。

最简单的模式之一可能是线段,其中还有另外两个线段从一端分支出来。如果我们重复这种模式,这两个蓝色部分的末端还将有两个分支。

您可以移动蓝点来更改所有分支的长度和角度。然后使用下面的滑块增加迭代次数。

根据分支的位置,您可以创建完全不同的模式-看起来像上面的。你还能找到什么?

另一个著名的分形是Sierpinski三角形。在这种情况下,我们从一个大的等边三角形开始,然后反复从剩余部分中切出较小的三角形。

请注意,最终形状是如何由自身的三个相同副本组成的,而每个副本都由整个三角形的更小副本组成!您可以一直放大到三角形,并且图案和形状将始终重复。

本章开始的植物_看起来_就像分形一样,但是显然不可能在现实生活中创建分形。如果我们不断重复相同的模式,并且越来越小,我们最终将到达无法分裂的细胞,分子或原子。

但是,使用数学,我们可以考虑真正的分形将“具有”的性质-这些令人惊讶……

分形维数

首先,让我们考虑分形的维数。一条线的尺寸为将其缩放2倍时,其长度增加21=2倍。显然!

正方形的尺寸为将其缩放2倍时,其面积将增加22=

多维数据集的维度为将其缩放2倍时,其体积将增加23=倍。 请注意,图像中较大的立方体由较小的8个副本组成!

现在让我们看一下Sierpinski三角形。如果我们将其缩放2倍,则可以看到它的“面积”增加了倍。

假设d是Sierpinski三角形的尺寸。使用与上述相同的模式,我们得到2d=3。换句话说,d = ≈1.585…

但是,等等……某物的尺寸如何不是整数?似乎不可能,但这只是分形的怪异特性之一。实际上,这就是分形的名称:它们具有分数维

每次迭代时,我们都会删除Sierpinski三角形的某些区域。如果我们可以无限次这样做,那么实际上将不存在任何区域:这就是为什么Sierpinski三角形位于2维区域和1维线之间的原因。

尽管许多分形是_自相似_,但更好的定义是,分形是具有非整数维的形状。

科赫雪花

自然界中有许多看起来像分形的形状。在本章开始时,我们已经看到了一些工厂。其他很棒的例子是雪花和冰晶:

要创建自己的分形雪花,我们必须再次找到一个可以反复应用的简单程序。

与Sierpinski三角形一样,让我们从一个单一的等边三角形开始。但是,我们没有_在每个步骤中删除_个较小的三角形,而是沿边缘_添加_个较小的三角形。每个三角形的边长是上一步中三角形的

产生的形状称为科赫雪花,以瑞典数学家Helge von Koch的名字命名。再次注意,雪花边缘的个小部分个大部分看起来完全一样。

当我们将Koch雪花的一个边缘部分缩放3倍时,其长度

使用与上面相同的尺寸和比例因子之间的关系,我们得到公式这意味着科赫雪花的尺寸为d=log341.262

区域

创建科赫雪花几乎就像一个递归序列:我们知道起始形状(三角形),并且知道如何从一个术语到下一个术语(通过在每个边上添加更多的三角形):

个新三角形

个新三角形

个新三角形

第一次迭代后,每一步添加的新三角形数量增加了倍。同时,这些新三角形的面积在每一步减小了

假设第一个三角形的面积为1。然后接下来的三个三角形的总面积为3×19=13。以下步骤全部形成,它们的公共比率为

使用无限几何级数的和的公式,我们可以计算出科赫雪花的总面积为

A=1+13×1=85=1.6

周边

我们还可以尝试计算科赫雪花的周长。如我们之前所见,周长的长度在每一步中的变化幅度为

这意味着我们又有了一个几何级数-但是在这种情况下,它的这意味着科赫雪花的周长实际上无限长

如果这似乎违反直觉,请记住,我们在每一步都将周长乘以43,并且我们会无限次这样做。

几乎无法想象具有一个_有限_面积和一个_无限_圆周的形状–但这只是分形的许多意外特性之一。

您能否提出其他方法来创建自己的分形?

“我的灵魂在周围冰冻的分形上旋转……”

海绵海绵

分形不必像上面的许多示例一样是“平坦的”。三维外观最著名的分形之一是Menger海绵,以1926年首次描述它的数学家Karl Menger命名。

我们从一个实心立方体开始,并反复在其侧面钻出越来越小的孔。孔的每个新迭代都具有孔的先前迭代的的宽度。

3×3×3多维数据集由27个较小的多维数据集组成,但此处已删除其中一些。 Menger海绵由个副本组成,比副本小3倍。

现在,我们可以像上面的科赫雪花一样,尝试计算Menger海绵的尺寸d。在这种情况下,我们得到3d=20d=log3202.727

如果您想无限次地切出越来越多的孔,将没有剩余的实际体积。这就是为什么多维数据集是“不完全”的3维!

分形海岸线

到目前为止,我们所看到的所有分形的主要特征之一就是您可以永远“放大”并始终找到新的图案。 1920年左右,英国数学家刘易斯·弗莱·理查森意识到,许多国家的边界或海岸线也是如此。

首先从国家的基本形状开始,然后放大,然后添加河流入口,海湾和河口,然后添加各个悬崖,岩石,鹅卵石,等等:

在尝试计算一个国家的边界长度时,这是一个重要的问题–您如何确定放大的距离以及要包括的角落和缝隙?

例如,我们可以测量英国海岸线长度的一种方法是,拿起长尺,沿着海滩漫步,然后将所有距离加起来。

如果标尺长${rulers[index]}公里,则必须使用${count}次,因此我们得到的总海岸线为${count}×${rulers[index]} = ${count * rulers[index]} km。

我们可以用越来越小的尺子继续前进,每次我们得出的海岸线长度的结果都会更长一些。就像以前的科赫雪花一样,英国的海岸线似乎无限长!这通常称为海岸线悖论

几十年后,数学家Benoit Mandelbrot偶然发现了Richardson在IBM工作时在一本废弃的图书馆书籍中的工作。他认识到它的重要性,以及它与分形和维数的最新研究之间的关系。

英国的海岸线当然“看起来”是分形的,但它却不像我们之前看到的其他分形那样_自相似_。为了找到其大小,我们可以将其绘制在网格上并计算与之相交的像元数。

最初有 88个相交单元。如果我们将海岸线缩放2倍,则有 197个相交的像元–是两倍多!

海岸线的面积增加了19788。与以前一样,这意味着海岸线的尺寸为

d=log2197881.16

如果我们用更大的网格重复此操作,我们会发现英国海岸线的尺寸实际上约为1.21。曼德尔布洛特(Mandelbrot)意识到,这种分形维数也是形状粗糙度的量度–一种新概念,为此他在数学和科学的许多其他领域中发现了重要的应用。

自然与科技中的更多分形

尽管真正的分形永远不会出现在自然界中,但有很多物体看起来_几乎_像分形。我们已经看过植物,雪花和海岸线,这里还有更多示例:

中亚的山脉

印度的恒河三角洲

雷电

视网膜血管

美国大峡谷

所有这些对象可能看起来都是完全随机的,但就像分形一样,存在一个确定其形成方式的潜在模式。数学可以帮助我们更好地理解形状,分形在医学,生物学,地质学和气象学等领域都有应用。

计算机生成的分形地形

我们还可以使用分形来创建逼真的自然“副本”,例如,作为视频游戏或计算机生成的电影中使用的风景和纹理。此图像中的水,山和云完全由计算机在分形的帮助下制成!

我们甚至可以逆转此过程来压缩数字图像,以减小其文件大小。最早的算法是由迈克尔·巴恩斯利(Michael Barnsley)和艾伦·斯隆(Alan Sloan)在1980年代开发的,如今仍在研究新的算法。