分形谢尔宾斯基三角形

以下是一些来自罗马不同教堂的地砖示例：

事实证明，谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Triangle）在数学的其它领域也有广泛的应用，并且有许多不同的方法来生成它。在本章中，我们将探讨其中的一些！ 继续

帕斯卡三角形

您可能已经记得我们在帕斯卡三角形的章节中讲过谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Triangle）是一个数字金字塔，其中每个数字都是它上面的两个数字之和。点击下面三角形中的所有 偶数 数字，以高亮显示它们，然后看看你是否注意到一种模式：

帕斯卡三角形可以一直向下延伸，而谢尔宾斯基模式也会一直往下重复，三角形也会越来越大。从第16行开始，你已经可以看到一个更大的三角形顶部了。

如果两个相邻的单元格可被2整除，那么在它们下面的单元格的和也必须被 2 整除 –- 这就是为什么我们只能得到彩色三角形（或单个单元格）的原因。当然，我们也可以尝试为所有可被2之外的整数整除的单元格着色，你认为在这些情况下会发生什么呢？ 继续

在这里你可以看到帕斯卡三角形前128行的微缩版本，我们高亮显示了所有可被${n}整除的单元格 –- 您注意到了什么？

对于每个数字，我们都得到一个类似于谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Triangle）的三角形模式。如果我们选择了一个质数三角数斐波那契数，模式看起来就特别有规律。 如果该数字有 多个不同的 因数，则该模式看起来更加随机。

混沌游戏

这个过程被称为__混沌游戏__。刚开始的时候可能会有一些零散的点，但如果你多次重复同样的步骤，这些点的分布就会开始看起来和谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Triangle）完全一样！

还有许多其它的版本 -- 例如，我们可以从一个正方形或正五边形开始，可以添加一些额外的规则，比如不能连续两次选择同一顶点，或者可以按另外一个比例（而不是 12）来选择线段上的下一个点。在某些情况下，我们会得随机分布的点，但在有些情况下，我们会得到更多的分形：

您是否发现了基于黄金比例的谢尔宾斯基地毯（sierpinski carpet ）或五边形雪花？

元胞自动机

__细胞自动机__是由许多单个细胞组成的网格。每个细胞可以处于不同的“状态”（例如，不同的颜色），每个细胞的状态是由其周围的细胞决定的。

在我们的示例中，每个单元格可以是黑色或白色，我们从只包含一个黑色正方形的一行开始，在接下来的每一行中，每个单元格的颜色由紧接上方的三个单元格确定，下面是8个可能的选项，可以通过点击以翻转单元格的颜色 -–您是否能找到一组规则来创建类似于谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Triangle）的模式图案？

上面 8 个选项中的每一个都有两种可能，这意味着总共有28= 种可能的规则。某些符号，例如规则 126，看起来就像谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Triangle）。而其它的，如规则 30，看起来完全是混乱的，计算机甚至可以使用它们来生成随机数！它是由Stephen Wolfram于1983年发现的。

谢尔宾斯基四面体（Sierpinski Tetrahedra）

谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Triangle）有许多变体，还有一些具有类似属性和创建过程的其它分形。有些看起来是二维的，例如你在上面看到的 谢尔宾斯基地毯（sierpinski carpet ） ，还有一些看起来是立体的，比如下面的例子：