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分形曼德布罗特集

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我们在前面章节中看到的所有分形都是通过迭代的过程创建的:首先从一个特定的模式开始,然后不断地重复。

这和你之前看到的另一个数学概念很相似:用递归序列,从一个特定的数字开始,然后不断重复应用同样的递归公式,以得到序列中的下一个数字。

让我们以递归公式 xn=xn12 为例,将其项绘制在数轴上。您可以更改x0 的值:

请注意,根据起始值 x0 的不同,得到的结果序列所表现出的行为会有很大不同:

如果 x0>1,则序列 ,它会一直增长,直到无穷大。

如果 x0 在 –1 和 1 之间,则序列

如果 x0<1,则序列

到目前为止,我们还没有学到任何新的东西。但是,大约在一个世纪以前,数学家们开始探索如果使用复数而不是仅仅使用实数数轴,这些序列会发生什么。他们的发现是整个数学当中最令人惊讶和最美丽的结果之一。

朱莉娅集

让我们使用与之前相同的序列 xn=xn12,但要在复平面上进行。您可以移动x0的位置,查看。如果序列看起来会收敛,就用 蓝色 为平面上的相应点着色:

xn=xn12
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
收敛!发散!

可以看到,只要x0位于 (以原点为中心,半径为1的圆)内,该序列就收敛。

下面来点稍微难的,不仅仅是取前一个数字的平方数,每次还添加了一个常量 c (可以是任何复数),换句话说,xn=xn12+c,你认为还会得到收敛圆吗?你认为我们会看到什么样的形状?

在此图中,您可以移动x0的位置,调整c 的值:

xn=xn12+${complex(c)}
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
有界!发散!
我们已经知道如果 会发生什么–与上面的示例相同。只要x0位于单位圆内,序列收敛。
一旦改变c的值,一些奇妙的事情就发生了,圆变成了一个高度复杂的分形形状。
时,这种形状就会分裂成无数个螺旋状排列的微小部分。

在某些情况下,该序列不会收敛到一个单点 ,相反,它会形成一个由多个点组成的像三角形这样的循环路径,这些循环称为轨道

显示为蓝色的点表示相应的序列要么是收敛的,要么是有一条轨道,我们说它是有界的。其余的白色点表示相应的序列是发散的,它没有边界,最终会膨胀到无穷大。

您还能发现些什么?来看一下 模式 。存在某些 c 的值,使得 每个序列 都是发散的,从而导致整个复平面大多是白色的了。

通过数字着色形成的不同形状称为Julia集。它是由两位法国数学家加斯顿.朱利亚(Gaston Julia)皮埃尔.法图(Pierre Fatou)于1918年各自独立发现的。

在那个时候,没有计算机可以帮助我们直观地看到Julia集的实际样子,像朱利亚(Julia)和法图(Fatou)这样的数学家能够从数学上对它们进行推理,但他们只能看到粗略的手绘草图。

这个问题在今天就不存在了,下面的图片是所有不同的Julia集,不同的颜色表示序列在该点的发散有_多快_:

c=0.701760.3842i

c=0.4+0.6i

c=0.285+0.01i

曼德布罗特集

当创建不同的Julia集时,你可能已经注意到,c的某些值对应的每个序列都发散了,整个复平面留下是白色的。在朱利亚(Julia)和法图(Fatou)之后的几十年,新一代的数学家试图绘制出这些区域的样子。

在前面的示例中,我们为 c 选择了一个固定值,然后改变x0的位置以对平面着色。现在,我们让我们先设定固定值 x0=0,而不是改变 c的值。

再一次,在复平面上绘制以显示序列仍处于边界的区域,你希望看到什么形状?

xn=xn12+${complex(c)}
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
有界!发散!

这种分形称为曼德布罗特集(Mandelbrot Set),当旋转90°时,它看起来像一个有头有身有两条手臂的人,数学家 Robert Brooks 和 Peter Matelski 在1978年的一份研究论文中首次定义和绘制了它:

几年后,Benoit Mandelbrot 使用了IBM强大的计算机为分形创建了更为细致的可视化效果,这些分形后来以他的名字命名。第一批打印输出的分形看起来与他预想的不一样,直到他意识到打印机技术人员正在清理其边缘的“模糊”部分(他们认为它是由灰尘颗粒或打印机错误引起的,而不是由于对分形特征的定义造成的) !

像所有分形一样,我们可以一直不断“放大” 曼德布罗特集(Mandelbrot Set),在各个尺度下都可以找到一种新的模式。在这里你可以放大曼德布罗特集(Mandelbrot Set)中称为海马谷的这部分,黑色点位于 曼德布罗特集(Mandelbrot Set) ,这里的序列是收敛的,其它有颜色的点位于 曼德布罗特集(Mandelbrot Set)之外,这里的序列是发散的,不同的颜色表示它 增长到无穷大的速度 有多快:

Scale: ${pow(scale)}

该滑动条由 27 幅单独的图像组成,最大可以达到14兆或254倍的缩放级别,在一款现代笔记本电脑上进行渲染,总共花了将近45分钟。曼德布罗特集(Mandelbrot Set)可以用一个简单的方程 xn=xn12+c 来来创建,但它却又是无限复杂的,而且非常漂亮。

当你在曼德布罗特集(Mandelbrot Set)周围移动 c的值时,您可能会注意到一个奇妙的性质:

  • 曼德布罗特集(Mandelbrot Set)的主体部分内的所有序列都是 到一个点。
  • 在顶部球状体内的所有序列 它由个点组成。
  • 较小球状体里的序列有一长度为 的轨迹。

每个球状体都有不同大小的轨道,越小的球状体在其轨道上的点越多。这些轨道的大小与混沌理论中的重要概念单峰映象(logistic map)密切相关。

曼德布罗特(Bernoit Mandelbrot)将毕生精力奉献给了分形研究,以及与_粗糙度自相似_相关的数学研究。他的工作在物理学、气象学、神经学、经济学、地质学、工程学、计算机科学和许多其他领域中都有应用。

1985年,曼德布罗特集(Mandelbrot Set)出现在_《科学美国人》_杂志的封面上,从那时起,它已成为世界上最具识别度的数学图形之一。您可以在T恤、音乐视频和屏幕保护程序中看到它,它也被很多流行书籍和电影引用。