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分形曼德布罗特集

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我们在前几章中看到的所有分形都是使用迭代的过程创建的:首先从特定的模式开始,然后一遍又一遍地重复。

这类似于您之前看到的另一个数学概念:对于递归序列,您从一个特定的数字开始,然后一次又一次地应用相同的递归公式,以得到序列。

让我们以递归公式xn=xn12为例,将其项绘制在数字线上。您可以更改x0的值:

请注意,取决于起始值x0,所得序列的行为会有很大不同:

如果x0>1,序列,但它会一直增长,直到无穷大。

如果x0在–1和1之间,则序列

如果为x0<1,则序列分开。

到目前为止,我们还没有学到任何新知识。但是,大约在一个世纪之前,如果您使用复数而不是仅使用实数线,数学家便开始探索这些序列会发生什么。他们的发现是所有数学中最令人惊讶和最美丽的结果。

朱莉娅集

让我们使用与之前相同的顺序xn=xn12,但要在复杂的平面上进行。您可以移动x0的位置,以查看以下术语会发生什么。如果序列看起来会收敛,请以 蓝色 为平面上的相应点着色:

xn=xn12
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Converges!Diverges!

如您所见,只要x0位于 (半径为1的圆,以原点为中心)内,该序列就收敛。

现在让我们做些困难。我们不仅会对前一个数字进行平方运算,还每次都会添加一个常量 c_(可以是任何复数)。换句话说,`§x_n = x(n-1)^2 + c`。您认为我们仍然会达成共识吗?您认为我们还能看到其他什么形状?

在此图中,您可以移动x0的位置以及值c

xn=xn12+${complex(c)}
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Bounded!Diverges!
我们已经知道如果会发生什么–与上面的示例相同。只要x0位于单位圆内,序列收敛。
一旦更改c的值,就会发生一些奇妙的事情。圆会转变为高度复杂的分形形状。
时,形状分成无数个细小的螺旋状排列的元素。

在某些情况下,该序列不会收敛到单点 –相反,它会到达一个由多个点组成的循环,例如三角形。这些周期称为轨道

颜色为蓝色的点表示相应的序列收敛或有轨道(我们说它是有界)。留白的点表示相应的序列发散:它没有边界,最终爆炸到无穷大。

您还能找到什么?查看时的模式。还有c的一些值,其中的序列发散,因此整个复数平原保持白色。

通过数字着色形成的不同形状称为Julia Sets。它们是由两位法国数学家Gaston JuliaPierre Fatou独立于1918年发现的。

那时,没有计算机可以帮助可视化Julia的实际外观。像朱莉娅(Julia)和法图(Fatou)这样的数学家能够从数学上对它们进行推理,但他们只见过粗略的手绘草图。

我们今天没有这个问题-以下图片是所有不同的Julia集。不同的颜色表示_多快_该点处的序列发散:

c=0.701760.3842i

c=0.4+0.6i

c=0.285+0.01i

曼德布罗特集

当创建不同的Julia集时,您可能已经注意到,有些值c的每个序列都发散了,整个复平面仍然是白色的。在朱莉娅(Julia)和法图(Fatou)几十年之后,新一代的数学家试图绘制出这些区域的样子。

在前面的示例中,我们为c选择了一个固定值,然后更改了x0的位置以为平面着色。现在,我们固定x0=0的值,而改为更改c的值。

再一次,在复杂平面上绘制以显示序列仍处于边界的区域。您希望出现什么形状?

xn=xn12+${complex(c)}
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Bounded!Diverges!

该分形称为Mandelbrot Set,当旋转90°时,它看起来几乎像一个人,头部,身体和两条手臂。数学家Robert Brooks和Peter Matelski在1978年的一份研究论文中首次定义和绘制了它:

几年后,Benoit Mandelbrot使用了IBM强大的计算机为分形创建了更为详细的可视化效果,后来以他的名字命名。最初的打印输出看起来与他的预期不同–直到他意识到打印机的技术人员正在清理其边缘的“模糊性”(假定它是由灰尘颗粒或打印机错误引起的,而不是分形的确定特征) !

像所有分形一样,我们可以永远“放大” Mandelbrot集,在各个尺度上找到新的模式。您可以在此处放大Mandelbrot集的一部分,称为海马谷。黑点位于曼德尔布罗集内,序列在此处受限制。色点位于Mandelbrot集的处,序列发散,并且不同的颜色表示_增长到无穷大的速度_:

Scale: ${pow(scale)}

该滑块包括27个单独的图像,最大缩放级别超过14兆或254。总共花了将近45分钟才能在现代笔记本电脑上进行渲染。可以仅使用一个简单的方程xn=xn12+c来创建Mandelbrot集,但它却无限复杂且非常漂亮。

在Mandelbrot集上移动 c的值时,您可能会注意到一个奇怪的属性:

  • Mandelbrot集 收敛到一个点。
  • 大灯泡中位于顶部个点组成的|converge|diverge]] 轨道。
  • 这个较小的灯泡](target:bulb2)中的序列的轨道长度为

每个灯泡都有不同大小的轨道,较小的灯泡在其轨道上有越来越多的点。这些轨道的大小与后勤图中的重要概念后勤图密切相关。

Bernoit Mandelbrot毕生致力于分形研究以及_粗糙度自相似_的数学研究。他的工作在物理学,气象学,神经病学,经济学,地质学,工程学,计算机科学和许多其他领域中都有应用。

1985年,Mandelbrot套装出现在_Scientific American_杂志的封面上,从那时起,它已成为世界上最知名的数学形状之一。您可以在T恤衫,音乐视频中以及作为屏幕保护程序找到它,并且在许多流行的书籍和电影中都引用了它。