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圆与圆周率角度制与弧度制

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目前在几何中,我们常用度数来表示角的大小。旋转一圈°半圈°四分之一圈为°,以此类推。

数字360是一个非常实用的数,因为它可以被许多其它如:2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 等等数字整除。这意味着平均分一个圆常常得到一个整数。那你是否好奇这个数字360是怎么来的呢?

恰巧,360度是我们至今仍然使用的一个最古老的数学概念之一。起源于大约5000年前的古巴比伦。

当时,数学的一个最重要的应用之一就是天文学。太阳 决定这四季的轮转,农民们在种地的时候需要知道这些。类似的,月亮 决定了潮汐,这对渔民们来说也很重要。人们还研究根据星象来预测未来或者与天神沟通。

一块计算2的古巴比伦碑文

天文学家们发现夜晚出现的星座每天会转动一点点,直到约360天后,又旋转回开始的地方。这很可能就是为什么把圆平均分成360度的原因。

${day}天的午夜

当然,实际上一年有365天(好吧,准确的说是365.242199天),但是巴比伦的数学家使用简单的日晷,而这个近似值又是非常合用的。

这也和他们使用的60进制体系(由于6×60=360)相匹配。这个体系也是我们目前在用的一分钟含60秒和一小时含60分钟的原因——尽管其他的单位使用的是10进制 (例如,10年为一个年代,而100年为一个世纪)。

对于大多数人而言,测量角的度数只是我们的习性:360°摄像,滑板可以转540°,还有一些人的想法可以来个180°的大转弯。

从一个数学家的观点来看,选择360完全是随意的。如果我们住在火星上,一个圆可能会有670°,而在木星上甚至一年为10,475天。

540 MC短视频,540°旋转

弧度制

相对于把圆分成一定数量的份数(如360度),数学家通常更愿意使用一个单位圆周长来表示角度。

一个 圆的周长为 .

旋转 ,相应的距离为 .

旋转 ,相应的距离为 .

凡此种种:这种表示角度的方式称之为弧度制(你可以用“单位半径”来记忆)。

每一个角的角度都有一个相等的弧度对应。两者的转换也非常简单——就像你转换米和千米一样,又比如摄氏度和华氏度的转换:

360° = 2π rad


= rad


1 rad = °

你可以使用π的倍数或者就是一个小数来表示弧度。你可以完成下面关于相等角度与弧度转换的表格吗?

角度060180
弧度0232π

路程

你可以把弧度当做沿着一个单位圆的周长运动一周的路程。这个在处理弧线上运动的物体是特别有用。

例如,国际空间站绕地球一种需要1.5小时。这意味着它 旋转的速度弧度每小时。

在一个单位圆中,旋转的速度和 实际的 速度是一样的,因为周长等于旋转一周的弧度(都是2π)。

ISS的轨道半径为6800千米,这意味着ISS的 实际 运行速度为 = 28483 km/h.

${round(p*1.5,1)}h

从这个例子中,你可以感受到弧度是一个比角度更便利的单位吗?一旦你知道了旋转的速度,我们把它乘以半径就可以轻易的得到实际的速度。

下面是另外一个例子:假设你的汽车轮子的半径0.25 m。如果你开车的速度为20 m/s,你的车轮以弧度每秒的速度运转(或 802π=13 圈每秒。)

三角学

对于最简单的几何问题,角度和弧度完全可以互换——你可以选择一个你喜欢的,或者根据题目要求选择一个单位填入答案。但是,一旦你开始学习更高级的三角学微积分,就会发现弧度制将比角度制更好用。

大部分的计算器都有一个特别的按键来切换角度和弧度。像正弦余弦正切这样的三角函数,输入一个角度,就会得到它们的反三角函数反正弦反余弦反正切的函数值。当前使用的计算器设置决定了角度使用哪个单位。

尝试使用计算器来计算

sin(30°) = cos(1°) =
sin(30 rad) = cos(1 rad) =

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

使用弧度制对正弦函数有一个特别有意思的优势。如果θ是一个非常小的角(小于20°或0.3rad),那么 sinθθ。例如:

sin(${x}) ${sin(x)}

这个叫做小角度近似,可以大大简化某些包含三角函数的特定方程的求解。你在未来将会学到更多关于这方面的知识。

Archie