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圆与圆周率切线、弦和弧

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在前面的部分,你学了许多与圆有关的概念——如圆心、半径、直径和周长等。不过,还有很多可以帮助我们解决更复杂问题的圆的部分要素。

  • 割线 指的是经过圆上任意两点的直线。
  • 指的是连接圆上任意两点的线段。
  • 切线 指的是与圆只有一个交点的直线。这个点成为切点
  • 指的是圆上任意两点间的部分。
  • 扇形 指的是一条圆和经过这条圆弧两端的_两条半径_所围成的图形。
  • 还有, 弓形指的是圆上由一条和所对的围成的图形。

在本节,我们将研究所有这些要素之间的关系,并证明与它们有关的性质定理。先别着急去记这么多的概念——你还可以使用术语表

切线

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弧与扇形

大部分的古希腊科学家都认为地球是一个球体。有大量的证据:从轮船在海上消失于地平线,再到夜晚星星的圆周运动。

不幸的是,没有人准确的知道地球有多大——直到公元前200年,数学家埃拉托色尼 利用几何发现了一个测量地球半径的精妙方法。我们所需的只是一点关于圆的弧和扇形的知识。

正如你在图中看到的,一条 是圆的的一部分,而 扇形则是圆的一部分。

A 和点 B 之间的弧通常记为 AB。这个定义有点不严谨:连接点A和点B之间的弧还有 另一条弧在圆上的另一边。

另个中较短的弧称之为 劣弧,而较长的则称之为 优弧。如果点A和点B恰好相对且两条弧的长度相等时,我们称之为

计算弧长或扇形面积,我们需要知道它们所在圆中所对的角:也就是 圆心角

注意观察,弧、扇形和圆心角所占一个完整圆的比例是 相同 的。例如,如果 圆心角,则占了 整个圆

也就是说 弧长 也是 整个圆周长14 ,且 扇形的面积 也是 整个圆面积14

我们可以用下面的公式表示它们间的关系:

弧长周长=圆的面积=圆心角度数

那么我们就可以对上面的公式进行变形得到我们想要的量。例如,

弧长=周长×c360
=2πr×c360
扇形面积=圆的面积×c360
=πr2×c360

其中r是圆的半径,c为圆心角的度数。

如果我们用弧度来表示圆心角而不是角度,那么我们使用类似的公式,但是必须把360°替换为

弧长=2πr×c2π
=r×c
扇形面积公式=πr2×c2π
=12r2c

注意公式怎样变得更简洁,而且π都被抵消掉了。这就是为什么,你看可能印象,弧度的定义 就是基于半径为1 的圆的弧长。

现在你就知道怎么使用弧和扇形来计算地球的周长了。

在古埃及,尼罗河旁的城市_阿斯旺_。阿斯旺拥有一个奇特的庄园而闻名:每年有个时刻——在6月21日夏至的中午,当阳光照射到一口井的底部时。就在那时,整个井的底部被照亮了,边缘却没有,意味着太阳就在井的正上方。

古埃及人通过走路的步数来测量距离。

一些资料称“埃拉托色尼井”位于尼罗河的 _象岛_。

数学家埃拉托色尼 居住在距阿斯旺北部800 km的_亚历山大港_,他曾是亚历山大图书馆的馆长。亚历山大港市中心矗立着一座方尖碑,高耸的顶部有个窄小的金字塔形的纪念碑。

埃拉托色尼注意到夏至中午时分,纪念碑有一个投影——这意味着天上的太阳_不是_直射。他推断这可能是因为地球是弯曲的,并意识到利用这个可以计算出地球的周长。

在这里你可以看到阿斯旺水井和亚历山大方尖碑。太阳光线直射到井中,但是与方尖碑有一个夹角并产生了投影。

埃拉托色尼测量了投影的 角度 为7.2°。这个角度与亚历山大港到阿斯旺的 弧线 圆心角 相等,因为它们是

现在我们可以使用前面得到的弧长公式:

弧长周长=°360°

变形一下,我们就可以算出地球的周长

周长=360°7.2°×800 km=km

最后,我们知道圆的周长为C=2πr,因此地球的半径为

r地球=40000km2π6400km.

埃拉托色尼的测量是古代一项最重要的实验之一。他的估计地球大小是结果是非常精确的,特别是他只用了非常基本的测量工具。

当然,要把他的原始计算结果翻译成像千米这样的现代单位。在古希腊,距离大小用斯特迪亚(约为160m)表示,但那时没有通用的标准。每个地区都有一点差异,我们也不知道埃拉托色尼用的是哪个。

在后来的几个世纪,科学家们试图用其它的方法来测量地球的半径——有时候结果差异很大,或者就是错误的。

就是因为其中的一个错误方法引导克里斯托弗•哥伦布从葡萄牙向西航行。他以为地球比实际的小很多,并希望抵达印度。事实上,他到达了一个中间完全不一样的大陆:美洲。

弓形

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