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圆与圆周率引言

阅读时间: ~20 min

只要人类存在,我们就一直仰望天空,并试图通过观察日月星辰的运动来解释地球上面的生命。

古希腊的天文学家最早发现,所有的天体按照称为轨道的固定路径运转。他们认为这些轨道总是圆形的。毕竟,圆是各种形状中“最完美”的一种——从各个方向看都是对称的,因此也最适合于揭示宇宙秩序的奥秘。

地球是 托勒密宇宙 的中心。

上的任意一点到圆心的距离都是相等的。这意味着我们可以使用圆规进行画圆:

圆有三个要素你需要知道:

  • 半径 指圆心与圆弧上点的距离。
  • 直径 表示圆上两个相对的点的距离。它通过圆心,长度为半径的
  • 周长 (边缘长度)指环绕圆一周的长度。

圆有一个重要的性质就是所有的圆都相似。你可以通过展示来证明用简单的平移缩放可以让所有的圆重合。

你可能记得,对于相似多边形,对应边的比值总是固定的。圆也有相似的特征:所有圆的周长直径的比值总是相等的。它的值恒等于3.14159……——一个称为圆周率的神秘数字,它通常用希腊字母π来表示。圆周率是无限不循环的小数,不按任何循环节循环。

下图中是一个直径为1的轮子。当你“展开”它的边缘,你可以发现它的长度恰好是

01234π

如果一个圆的直径为d,则它的周长C=π×d。同样的,如果一个圆的半径r,那么它的周长

C=

圆是完全对称的,没有任何像多边形的拐角一样的“弱点”。这就是为什么圆在自然界中无处不在的一个原因:

花朵

星球

树木

水果

肥皂泡

还有很多其它的例子:从彩虹到波浪。你还能想到其它的吗?

经过证明给定周长的图形中圆的面积是最大的。例如,如果你有一个长为100 m的绳子,你可以通过围成一个圆形来获得最大的空间(而不是其它如四边形或三角形的形状)。

在自然界中,像水滴或气泡的物体可以通过变成圆球状来_节约能量_,并减少它们的表面积。

三角形
正方形
五边形

周长 = 100, 面积 = ${area}

圆的面积

那么我们如何准确计算一个圆的面积呢?让我们来尝试曾用于求四边形面积的方法:我们先把图形分割几个不同的部分,再把它们重新组合成一个我们熟知其面积求法的图形(如长方形或三角形)。

唯一不一样的地方是,圆是曲线,我们需要做一些估算:

rπr

这里我们可以看到一个圆分成了 ${n1} 块楔形。移动滑块,把它们排成一行。

如果我们增加楔形的数量到 ${n1}。这个形状开始越来越接近于

长方形的高度等于圆的 长方形的宽等于圆 (注意观察一半的楔形向下,一半的向上。)

所以长方形的面积近似于A=πr2

r2πr

这里你可以看到一个圆被分成 ${toWord(n)}个环形。就像前面那样,你可以移动滑块来“展开”环形。

如果我们不断增加楔形的数量到${n2},这个形状逐渐接近于一个

三角形的高度等于圆的 三角形的底等于圆的 所以三角形的面积近似于

A=12base×height=πr2

如果我们可以使用无限个环形或楔形,上面的近似值就刚好完美——并且他们得出了两个一样的圆的面积公式:

A=πr2

圆周率的计算

前文你发现,π=3.1415926不是一个简单的整数,而是小数部分无穷无尽没有任何重复样式出现。具有这种性质的数我们称之为无理数,这也意味着π 不用被表示成一个像ab这样的最简分数。

这也意味着我们无法写出圆周率的_所有_数位,毕竟它是无限的。古希腊和中国的数学家通过正多边形近似估计圆算出了圆周率的小数点后4位。注意观察,当边数不断增加时,多边形看起来像一个圆。

在1665年,艾萨克•牛顿成功计算出小数点后15位。时至今日,我们可以使用超级计算机来计算出更高精度的圆周率。

目前记录是31.4万亿位。用一本书印刷这些数的数将会达400千米厚——这是地球上国际空间站轨道的高度。

当然,你不需要记住圆周率的小数点后面的那么多位数。事实上,分数 227=3.142 已经相当接近了。

一个接近圆周率的计算方法是使用无穷数列进行表示。下面是一个由戈特弗里德•威廉•莱布尼茨 在1676年发现的例子: {.text-center} π=4143+4547+494+

当我们计算这个数列的越来越多项时,总是伴随着相同的模式,结果也越来越接近圆周率。

许多数学家认为圆周率有一个特别奇特的性质:这是一个常数。这就是说它的数位从0到9完全随机出现,就如自然界随机滚动一个10面的骰子无数次一般,来决定圆周率的数值。

这里你可以看到圆周率的前100位。鼠标在一些格子上面移动,可以看到这些数位的分布情况。

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9

如果圆周率是一个常数,意味着你随便想一个数字串,它将出现在某个数位里面。下面你可以在圆周率的前1百万位搜索——是否包含你的生日?

圆周率的前1百万位

搜索一个数字串:
3.

我们甚至可以把一本书,像《哈利波特》,编码成一个很长的数字字符串(字母a为01,字母b为02,以此类推。)。如果圆周率是一个常数,这个数字串将会出现在它的某个数位里面——但这可能需要耗数百万年的时间去计算足够的数位去找到它。

圆周率虽然是一个容易理解的数,不过在科学和数学领域有举足轻重的作用。这就是圆周率在我们文化中变得非常流行的一个原因(至少,相对于其它数学主题。):

圆周率是《博物馆奇妙夜2》中一个神秘组合的金牌。

弗林克教授《辛普森的一家》中的在一个安静的科学家的房子里说圆周率等于3。

斯波克《星际迷航》通过让一个邪恶的电脑计算圆周率的最后一位来破坏它。

每年甚至有一个_圆周率日_,要嘛是出现在3月14日,因为 π3.14,要嘛就是在7月22日,因为π227