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圆与圆周率圆锥曲线

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圆是四种不同形状中可以通过对一个圆锥进行“切片”得到的图形。这个可以通过手电筒的锥形光束来演示:

Circle

Ellipse

Parabola

Hyperbola

如果你把手电筒垂直向下,你可以看到一个的光线。倾斜那个锥形光束,你可以得到一个椭圆。如果继续往前倾斜,你可以得到一个抛物线 或者一个双曲线

总的来说,这四种图形统称为圆锥曲线。尽管它们看起来非常不一样,但是它们是紧密相关的:事实上,它们全都可以使用同一个方程来产生!

最早研究圆锥曲线的是古希腊佩尔格的数学家阿波罗尼奥斯,他还给它们非同寻常的命名。

在后续的课程中,你将会学习更多关于抛物线和双曲线的知识。现在,我们来更进一步研究一下椭圆。

椭圆

一个椭圆看起来很像一个“伸长的圆”。实际上,你可以把它当做一个圆有_两个圆心_——把它们称之为_焦点_。和一个圆上每个点都要圆心的距离相等类似,椭圆上面的每一个点到两个焦点的_距离之和_是固定的。

如果你有一条长的绳子把两个固定的点连起来,你可以通过描出绳子最远的点来画一个完美的椭圆:

即将推出:画椭圆的动态效果

下面有很多实物的展示来画一个椭圆:

齿轮

量规

光碟

悬摆

行星轨道

你应该还记得本课程开始的时候,古希腊的天文学家认为地球是宇宙的中心,而太阳、月球和行星都沿着圆形的轨道绕地球运动。

不幸的是,天文观测的结果并不完全支持这个结论。例如,一年中的某些时候太阳看起来比较大而其它时候则比较小。在一个圆上,每一个点到圆心的距离是

古希腊尼西亚的天文学家希帕克

为了弥补这个缺陷,天文学家引入本轮到太阳系模型中:行星绕着地球周围一个很大的圆进行运动,同时还以一个小圆进行选择。尽管非常晦涩难懂,这个却是1000多年来被最广泛接纳的宇宙模型:

这个星球在绕着一个大圆(传送带)的同时沿着小圆(本轮)做 ${n}次旋转。

一张画着本轮的16世纪地心说模型图。希腊语中的“planetes”意指“流浪者”。

随着时间过去,人们意识到地球仅仅是绕着太阳(日心说)的众多行星之一,但直到1609年,天文学家约翰尼斯•开普勒 发现行星实际上沿着_椭圆轨道_运行。

太阳只是这个椭圆中的两个焦点之一。行星的速度靠近太阳时变大,远离太阳时变慢。

几十年后,艾萨克•牛顿 能够证明开普勒的观测结果,使用了他新发现的万有引力定律。牛顿意识到宇宙中的两个物体之间存在一种力——类似于两个磁铁之间的吸引力。

引力就是那个使物体从上往下掉在地上的东西而且还使得行星绕着太阳运动。也正是由于行星的高速度运动,阻止了它们被吸进太阳里面。

Frits Ahlefeldt

使用牛顿定律,你可以确定物体在万有引力作用下运行的路径。证明了行星沿着椭圆运动但其它像彗星等物体则沿着抛物线或者双曲线运动:它们飞近太阳然后改变方向射向宇宙,永不回头。

根据传说,一个下落的苹果启发牛顿发现了万有引力。他也是所有时代中最具影响力的科学家之一,他的观点构建了我们对世界的认识一直持续了300多年——直到阿尔伯特•爱因斯坦在1905年发现了相对论。