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欧几里得几何欧几里得公理

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在我写任何证明之前,我们需要一些通用术语,以便于我们在谈论几何对象时更加容易,这些术语并没有什么特别之处,大多数你都应该知道了:

是空间中一个特定的位置,点描述了位置,但它没有 大小形状 ,一般用大写字母来标注。

在 Mathigon 中, 大一点的实心点表示你可以移动的交互式点,而小一点的空心点表示你不能移动的固定点。

线 是由无穷个点的集合,向双个方向无限延伸。线总是直的,它们没有 宽度 ,不占任何空间,就像点一样。

线用小写字母来标记,例如 ab。我们也可以用位于线上的两个点来表示它们,例如 PQQP,点的顺序并不重要。

线段 是线位于两点之间的一部分,并不会无限延伸,我们可以用类似线的标记方式来标记线段,只是在字母上面没有箭头:ABBA,点的顺序也不重要。

射线 是介于 线线段 之间的一种形式,它只在一个方向无限延伸,你可以把它想像成 太阳光线 :它们从一个点(太阳)开始,然后射向无穷远。

在标记射线时,箭头的方向用来表示沿这个方向延伸到无穷远,例如 AB,此时,点的顺序就很重要了。

是到一个中心点距离相等的所有点的集合,这个距离叫做半径

全等

右边的两个图形看起来基本上是一样的,有相同的大小和形状,我们可以移动和旋转 其中一个,使其与另外一个完全重合,在几何学中,我们就说这两个图形是全等的。

全等的符号是 ,因此我们可以说AB

这是有一些不同的几何对象 - 将彼此全等的几何图象连起来,记住,两个以上 的图形也可能是全等的,也有些形状与其它的 任何 图形都不全等:

如果两条线段,就可以说它们是全等的。如果两个角度(以度为单位),就可以说它们是全等的。

注意,“全等” 并不意味 “相等”_。举个例子,全等线和角不一定要指向同一个方向,当然,_全等 仍然具有 相等 的很多属性:

  • 全等满足 对称性:如果 XY,那么 YX
  • 全等满足 反射性:任何形状与它自身是全等的,例如 AA
  • 全等满足 传递性: 如果 XY 并且 YZ ,那么 XZ

平行与垂直

两条永不相交的直线就称它们是平行的,它们指向同一个方向,它们之间的距离总是

现实生活中一个很好的平行线例子就是 _铁轨_。需要注意的是,两条以上的线也可以是互相平行的!

在图示中,我们通过增加一个或多个小箭头来标识平行线。在左边的例子中,有 abcde,符号 表示 “平行于”

平行 相对的是两条线以90°角(直角)相交,那么这两条线就是垂直的。

在左边这个例子中,我们写为a b ,符号 表示 “垂直于”

欧几里得公理

希腊数学家们意识到,要想写出形式上的证明,你需要一系列 起始点 :每个人都同意是正确的那些简单的、直观的声明。这些声明就叫做 公理 (或 公设)。

数学中一个关键的部分就是利用逻辑规则,组合运用不同的公理去证明更复杂的结论。

希腊数学家 欧几里得 被称为 几何学之父 , 他提出了几何学中的五条公理:

欧几里得

第一公理
可以用一条直 线段连接任意 两个点

第二公理
可以把任意一条 线段扩展成一条 无限长的线

第三公理
线定一个P和一个 距离 r,可以 P 为圆心,r 为半径画一个

第四公理
任意两个 直角是全等的

第五公理
给定一条 直线 L和一个直线 L 外的 P,刚好有 一条线通过 P ,并且这条线 平行于 L

这里的每一条公理看起来都很明显,不言而喻,但它们共同构成了几何学的基础,可用于推导出几乎所有几何学其它的内容。 艾萨克.牛顿有说过:_几何学的荣耀在于,它能从如何少的原则中,获得如此多的成就_。

欧几里得在它的著作 《几何原本》 中提出来这五个公理。这是历史上第一个系统的数学方法例子,后来在数千年中被用做数学教科书。

美国总统托马斯.杰斐逊是研究欧几里得著作的人之一,当它在 1776 年写独立宣言时,他就想要遵循类似的方法,首先声明一些简单的 “公理”,然后现去 “证明” 更多复杂的结论:

“我们认为以下事实不言而喻:人人生而平等,造物主赋予他们若干不可让与的权利,其中包括生存权、自由权和追求幸福的权利。”

因此,我们... 宣布,这些联合的殖民地是,并且理应是自由和独立的国家。

这只是欧几里得的数学思想对其它不同领域启发的一个例子。