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欧几里得几何折纸

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使用真尺和圆规并不是构造几何图形惟一的方式。另一种完全不使用工具的技术是:折纸

折纸 (折り紙) 一词源于日语 oru (折叠) and kami (纸),目标是不借助任何额外的工具,比如胶水或剪刀,用一张或多张纸来折出各种物体形状。下面是这些漂亮的物体都是用长方形的纸张折成的,真是难以置信:

完成这样的形状需要耗费大量的时间,而且要求非常精确,但是通过一些练习,你可以做到!

你只需要一张正方形的纸,首先,沿两条对角线对折。

下一步,将纸翻到另一面,再沿着水平与垂直中心对折。

现在拎起这张纸的两个相对的角,如视频所示将它们连在一起,这样就形成了一个较小的底部开放的正方形。

将正方形的左右两个角向中心线方向折叠,然后翻过来,完成同样的操作。

现在沿着水平线向下折叠上面的三角形,然后将最后这两步的折叠重新打开。

接下来的一步很难,拿着纸底部的角,打开的同时沿着开始折出的水平线往上折,之前的一些折叠会反转过来。将纸翻到另外一边,完成同样的操作。

确保两条“腿”朝下面,然后把左右两个角往中心线上折。将纸翻到另外一边,完成同样的操作。

就快要完成了!轻微的打开右侧,将头部向上折到顶部,把纸翻转过来,对另一侧的尾巴做同样的动作。

反向折叠,形成一个嘴,你可以自己选择位置来决定需要折叠多长。

最后,往下折出两个翅膀,然后把它们打开。

这种 是最古老最知名的折纸模型之一,这里还有许多折纸模型说明,你可以去尝试!

折纸公理

就像用直尺和圆规画图一样,关于折纸不同的 折法 也有几个公理,由日裔意大利数学家藤田文章(Humiaki Huzita)于1992年首次提出。

你可以沿连接任意两点的直线折一条折痕

你可把任意点 P 折叠到任意的另外一点 Q。这就创建了线PQ

我们可以将任意两条线折叠在一起,如果线是相交的,这就创建了这两条线夹角的

给定一个点 P 和一条直线 L,我们可以通过点 P 折一条垂直于 L 的折痕

给定两个点 PQ 和一条线 L ,我们可以通过点 P 折一条折痕,使得点 Q 刚好落在 L

给定任意两点 PQ ,以及任意两条直线 KL,我们可以折一条折痕,使得点 P 落在线 K 上,同时使得点 Q 落在线 L

要给定一个点 P 和两条线 KL ,我们可以折一折痕,使得折痕垂直于 K,并使得点 P 落在线 L

事实证明,这些公理甚至比欧几里德公理更强大,仅使用折纸也可以完成三等分角以及将立方体体积翻倍!当然,折曲线是不可能的,也不能使用折纸化圆为方。

折纸的应用

折纸是一门古老的艺术,在很长一段时间里,主要是一种娱乐性的追求,而没有现实生活中的应用。然而,事实证明,与折纸相关的技术在科技与工程领域非常有用:

折纸在太空中的应用

卫星需要大型太阳能板来发电,但不幸的是,将卫星送上太空的火箭只有很有限的载重空间,任何额外的重要都需要耗费大量的燃料。

折纸技术允许太阳能板在到达太空后“展开”,一些特别巧妙的折叠非常紧凑,仅需要很少的马达和机械部件即可

折纸在医学领域的应用

在医学上,来自折纸的类似想法被用在范围小得多的地方。2003年,研究人员开发了 折纸支架 :可以插入血管中的微小导管,它们先是折叠起来的,但可以在患者的血液里扩张,用于扩大阻塞的动脉或静脉。

可折叠的桥梁

英国和美国的军方使用折纸技术去研发可折叠的移动桥梁,这些对于快速穿越河流或者反坦克壕沟非常有用,而且可以比以前的设计更快地部署使用

折纸也可用于救灾,在地震或海啸后快速提供紧急救援车辆,这张图是日本广岛大学设计的原型。

折纸在海底的应用

海洋深处是地球上人类探索最少的地方之一,生活在那里动物通常又软又嫩,这使得很难捕捉到它们。

这里可以看到一个十二面体形状的“陷阱”,可以用来捕捉周围的海洋生物,以用于研究。它们是远程控制的,只需要一个电机就可以驱动它的五个手臂完成复杂的折叠动作。

在日常生活中,也有很多与折纸相关的应用:房屋在地震中被压缩而不是坍塌,汽车中的安全气囊自动展开,自组装的机器人,更高效的包装设计,轻型的飞机等等。

折纸在自然界中的应用

事实证明,我们人类并不是唯一利用折纸力量的:大自然这样做已经有数百万年了。

这里你可以看到一个 蠼螋 的翅膀,它可以以一种巧妙的方式折叠一起来,当打开的时候,翅膀展开的大小会高达10倍,这是自然界王国的最高“折叠比率”了:

当展开的时候,巨大翅膀会收缩到一个固定的位置,这样昆虫就可以飞起来了,只需要轻轻一碰,翅膀就可以收缩回去。当折叠起来的时候,体积足够小,蠼螋就可以在地下挖隧道。许多其它昆虫、蝙蝠、叶子和花朵也使用了类似的折叠模式,将大面积的表面适配到狭小的空间中去。

科学家们也正在研究这些动植物,希望在工程和技术上模仿它们的能力。潜在的应用可能包括智能手机中的折叠电子元件,为卫星供能的扩展太阳能面板,甚至具有折叠功能的帐篷。

“折纸艺术”甚至出现在你自己的身体里:每个人类的细胞都包括约2米长的DNA,一种携带你所有基因信息的分子。如果把你体内所有细胞的DNA进行组合,它们的长度甚至比从地球到太阳之间距离的140倍还要长!

为了在你身体容下所有的DNA,而不会扭曲或撕裂,每一条链都被特殊的分子卷曲、折叠并固定在适当的位置。

同样的机制也被出现在生物体内的其它复杂分子所使用。例如:蛋白折叠是生物学中最复杂的问题之一,更好地了解它可以帮助科学家在未来开发出新的药物。