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Türkçe欧几里得几何折纸
使用真尺和圆规并不是构造几何图形惟一的方式。另一种完全不使用工具的技术是：折纸。
折纸 (折り紙) 一词源于日语 oru (折叠) and kami (纸)，目标是不借助任何额外的工具，比如胶水或剪刀，用一张或多张纸来折出各种物体形状。下面是这些漂亮的物体都是用长方形的纸张折成的，真是难以置信：
完成这样的形状需要耗费大量的时间，而且要求非常精确，但是通过一些练习，你可以做到！
你只需要一张正方形的纸，首先，沿两条对角线对折。
下一步，将纸翻到另一面，再沿着水平与垂直中心对折。
现在拎起这张纸的两个相对的角，如视频所示将它们连在一起，这样就形成了一个较小的底部开放的正方形。
将正方形的左右两个角向中心线方向折叠，然后翻过来，完成同样的操作。
现在沿着水平线向下折叠上面的三角形，然后将最后这两步的折叠重新打开。
接下来的一步很难，拿着纸底部的角，打开的同时沿着开始折出的水平线往上折，之前的一些折叠会反转过来。将纸翻到另外一边，完成同样的操作。
确保两条“腿”朝下面，然后把左右两个角往中心线上折。将纸翻到另外一边，完成同样的操作。
就快要完成了！轻微的打开右侧，将头部向上折到顶部，把纸翻转过来，对另一侧的尾巴做同样的动作。
反向折叠，形成一个嘴，你可以自己选择位置来决定需要折叠多长。
最后，往下折出两个翅膀，然后把它们打开。
这种 鹤 是最古老最知名的折纸模型之一，这里还有许多折纸模型说明，你可以去尝试！
折纸公理
就像用直尺和圆规画图一样，关于折纸不同的 折法 也有几个公理，由日裔意大利数学家藤田文章（Humiaki Huzita）于1992年首次提出。
你可以沿连接任意两点的直线折一条折痕
你可把任意点 P 折叠到任意的另外一点 Q。这就创建了线
我们可以将任意两条线折叠在一起，如果线是相交的，这就创建了这两条线夹角的
给定一个点 P 和一条直线 L，我们可以通过点 P 折一条垂直于 L 的折痕
给定两个点 P 和 Q 和一条线 L ，我们可以通过点 P 折一条折痕，使得点 Q 刚好落在 L 上
给定任意两点 P 和 Q ，以及任意两条直线 K 和 L，我们可以折一条折痕，使得点 P 落在线 K 上，同时使得点 Q 落在线 L 上
要给定一个点 P 和两条线 K 和 L ，我们可以折一折痕，使得折痕垂直于 K，并使得点 P 落在线 L 上
事实证明，这些公理甚至比欧几里德公理更强大，仅使用折纸也可以完成三等分角以及将立方体体积翻倍！当然，折曲线是不可能的，也不能使用折纸化圆为方。
折纸的应用
折纸是一门古老的艺术，在很长一段时间里，主要是一种娱乐性的追求，而没有现实生活中的应用。然而，事实证明，与折纸相关的技术在科技与工程领域非常有用：
折纸在太空中的应用
卫星需要大型太阳能板来发电，但不幸的是，将卫星送上太空的火箭只有很有限的载重空间，任何额外的重要都需要耗费大量的燃料。
折纸技术允许太阳能板在到达太空后“展开”，一些特别巧妙的折叠非常紧凑，仅需要很少的马达和机械部件即可
折纸在医学领域的应用
在医学上，来自折纸的类似想法被用在范围小得多的地方。2003年，研究人员开发了 折纸支架 ：可以插入血管中的微小导管，它们先是折叠起来的，但可以在患者的血液里扩张，用于扩大阻塞的动脉或静脉。
可折叠的桥梁
英国和美国的军方使用折纸技术去研发可折叠的移动桥梁，这些对于快速穿越河流或者反坦克壕沟非常有用，而且可以比以前的设计更快地部署使用
折纸也可用于救灾，在地震或海啸后快速提供紧急救援车辆，这张图是日本广岛大学设计的原型。
折纸在海底的应用
海洋深处是地球上人类探索最少的地方之一，生活在那里动物通常又软又嫩，这使得很难捕捉到它们。
这里可以看到一个
在日常生活中，也有很多与折纸相关的应用：房屋在地震中被压缩而不是坍塌，汽车中的安全气囊自动展开，自组装的机器人，更高效的包装设计，轻型的飞机等等。
折纸在自然界中的应用
事实证明，我们人类并不是唯一利用折纸力量的：大自然这样做已经有数百万年了。
这里你可以看到一个 蠼螋 的翅膀，它可以以一种巧妙的方式折叠一起来，当打开的时候，翅膀展开的大小会高达10倍，这是自然界王国的最高“折叠比率”了：
当展开的时候，巨大翅膀会收缩到一个固定的位置，这样昆虫就可以飞起来了，只需要轻轻一碰，翅膀就可以收缩回去。当折叠起来的时候，体积足够小，蠼螋就可以在地下挖隧道。许多其它昆虫、蝙蝠、叶子和花朵也使用了类似的折叠模式，将大面积的表面适配到狭小的空间中去。
科学家们也正在研究这些动植物，希望在工程和技术上模仿它们的能力。潜在的应用可能包括智能手机中的折叠电子元件，为卫星供能的扩展太阳能面板，甚至具有折叠功能的帐篷。
“折纸艺术”甚至出现在你自己的身体里：每个人类的细胞都包括约2米长的
为了在你身体容下所有的DNA，而不会扭曲或撕裂，每一条链都被特殊的分子卷曲、折叠并固定在适当的位置。
同样的机制也被出现在生物体内的其它复杂分子所使用。例如：__