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欧几里得几何直尺与圆规构建

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你可能已经注意到,欧几里得的五条公里并没有包含任何关于距离与角度的 _测量_,而这却是几何学中的一个关键部分,例如计算面积和体积。

然而,在泰勒斯或欧几里得时代,还没有像我们今天使用的通用度量单位,距离通常是使用像手指宽度,或手臂长度这样的身体部位来测量的,这些都不是很准备,因人而异。

为了测试长距离,建筑师或测量师通常使用 打结的绳子 :每隔相同距离有许多结的长绳子,但这些也不是很准确,并且不同的绳子打结的位置距离也有所不同。

希腊数学家们不想以这些近似的方式去处理,他们对底层的几何规律比实际应用更感兴趣。

这就是为什么他们抽象出了一个更理想化的通用版本:点没有大小,线没有宽度。当然,这些 在纸上画出来,可见的点总会占用空间,线也总会有宽度,这也是为什么我们的绘图只能是“近似”。

欧几里得的公理告诉我们,在他的几何学版本里 什么是可能的 。事实证明,我们只需要两个非常简单的工具就可以在纸上画出这一切:

直尺 就像一把没有任何标记的尺子。你可以用它将两点(如公理一所示)连起来,或者扩展一条线段(如公理二所示)

圆规 让你可以一点为中心画一个给定大小的圆(如公理三所示)

公理四和公理五主要是关于形状的比较,而不是画什么,因此它们不需要任何特定的工具

你可以想象出,希腊数学家们在海难上思考几何学,在沙地上画出不同的形状:使用长木板作为直尺,一截绳子用作圆规

尽管这些工具看起来比较原始,但你可以用它们画出大量的形状,这对数学家们来说就像玩益智游戏:试图找到一种方法仅仅使用直尺和圆规去“构建”不同的几何图形

希腊数学家阿基米德 被罗马侵略者杀害的时候,他正在研究几何学,他说的最后一句话是“不要弄坏我的圆形”。

使用直尺和圆规画一个等边三角形

首先,选择画线工具,在右边的框中任意位置画一条线段,简单的从起始点拖到终点即可,这条线段作为三角形的一条边。

接下来,选择画圆工具,以该线段的端点为圆心画两个圆,只需要从其中一个端点拖到另一个端点即可。

三角形的其中两个端点我们已经有了,而两个圆的交点是第三个交点,再次用直线工具将缺失的边画上就完成了三角形的绘制。

现在这两条边这两条边 都是同一个圆的 因此他们的长度一定相等,换句话说,这个三角形的三条边都是相等的,因此它确实是一个等边三角形。

中点和垂直平分线

即将推出 – 构造中点和垂直平分线

角平分线

即将推出 – 构造角平分线

不可能完成的构造

在下一章中,我们将看到更多像这样可以被构造出来的形状,然而,欧低几何也有限制:有些仅使用直尺和圆规是无法构造出来的。

据传,古希腊的提洛斯(Delos)曾遭遇过一场可怕的瘟疫,德尔斐(Delphi)的神谕告诉他们,这是众神的惩罚,如果他们为自己的神庙建造一个新的祭坛,瘟疫就会消失,要求这个祭坛的体积恰好是现有神庙体积的两倍。

德尔斐一座寺庙的重建

请注意,将立方体的 体积加倍 并不等于将立方体的 边长加倍 。事实上,立方体 的体积增加两倍,立方体的边将增加23倍。

将立方体的体积加倍,这听起来似乎很简单,实际上在仅使用直尺和圆规的欧氏几何中是不可能完成的!这意味着对于提洛斯(Delos)的民众来说,一切的希望都破灭了。还有另外两个知名的构造也是不可能完成的,数学家们花了大量的时间试图找到解决方案 -- 但都没有成功:

三等分角
我们已知知道如何平分一个角,但是如果要将一个角 均等分却是不可能的

将立方体体积加倍
给定一个立方体的边长,不可能构造出另一个立方体的边长,使得该立方体的体积刚好是原立方体的两倍

化圆为方
给定一个圆,不可能构造出一个正方形,它的面积刚好等于圆的面积

请注意,这些问题如果用代数或使用带刻度的标尺和量角器都可以很容易得到解决,但如果只允许使用真尺和圆规,那是不可能完成的