欧几里得几何欧几里得公理

在我写任何证明之前，我们需要一些通用术语，以便于我们在谈论几何对象时更加容易，这些术语并没有什么特别之处，大多数你都应该知道了：

点是空间中一个特定的位置，点描述了位置，但它没有大小和形状，一般用大写字母来标注。

在 Mathigon 中，大一点的实心点表示你可以移动的交互式点，而小一点的空心点表示你不能移动的固定点。

线是由无穷个点的集合，向双个方向无限延伸。线总是直的，它们没有宽度，不占任何空间，就像点一样。

线用小写字母来标记，例如 a 或 b。我们也可以用位于线上的两个点来表示它们，例如 PQ↔ 或 QP↔，点的顺序并不重要。

线段是线位于两点之间的一部分，并不会无限延伸，我们可以用类似线的标记方式来标记线段，只是在字母上面没有箭头：AB‾ 或 BA‾，点的顺序也不重要。

射线是介于线和线段之间的一种形式，它只在一个方向无限延伸，你可以把它想像成 太阳光线 ：它们从一个点（太阳）开始，然后射向无穷远。

在标记射线时，箭头的方向用来表示沿这个方向延伸到无穷远，例如 AB→，此时，点的顺序就很重要了。

圆是到一个中心点距离相等的所有点的集合，这个距离叫做半径。

全等

右边的两个图形看起来基本上是一样的，有相同的大小和形状，我们可以移动和旋转其中一个，使其与另外一个完全重合，在几何学中，我们就说这两个图形是全等的。

全等的符号是 ≅ ，因此我们可以说A≅B。

这是有一些不同的几何对象 - 将彼此全等的几何图象连起来，记住，两个以上 的图形也可能是全等的，也有些形状与其它的任何图形都不全等：

如果两条线段，就可以说它们是全等的。如果两个角度（以度为单位），就可以说它们是全等的。

注意，“全等” 并不意味 “相等”。举个例子，全等线和角不一定要指向同一个方向，当然，全等仍然具有相等的很多属性：

两条永不相交的直线就称它们是平行的，它们指向同一个方向，它们之间的距离总是。

现实生活中一个很好的平行线例子就是铁轨。需要注意的是，两条以上的线也可以是互相平行的！

在图示中，我们通过增加一个或多个小箭头来标识平行线。在左边的例子中，有 a∥b∥c 和 d∥e，符号 ∥ 表示 “平行于” 。

与平行相对的是两条线以90°角（直角）相交，那么这两条线就是垂直的。

在左边这个例子中，我们写为_{.b.m-blue}a_ ⊥ b ，符号 ⊥ 表示 “垂直于” 。

希腊数学家们意识到，要想写出形式上的证明，你需要一系列 起始点 ：每个人都同意是正确的那些简单的、直观的声明。这些声明就叫做公理 (或公设)。

数学中一个关键的部分就是利用逻辑规则，组合运用不同的公理去证明更复杂的结论。

希腊数学家欧几里得被称为 几何学之父 ，他提出了几何学中的五条公理：

欧几里得

第一公理 可以用一条直线段连接任意两个点

第二公理 可以把任意一条线段扩展成一条无限长的线

第三公理 线定一个点 P和一个距离 r，可以 P 为圆心，r 为半径画一个圆

第四公理 任意两个直角是全等的

第五公理 给定一条直线 L和一个直线 L 外的点 P，刚好有一条线通过 P ，并且这条线平行于 L。

这里的每一条公理看起来都很明显，不言而喻，但它们共同构成了几何学的基础，可用于推导出几乎所有几何学其它的内容。艾萨克.牛顿有说过：几何学的荣耀在于，它能从如何少的原则中，获得如此多的成就。

欧几里得在它的著作 《几何原本》 中提出来这五个公理。这是历史上第一个系统的数学方法例子，后来在数千年中被用做数学教科书。

美国总统托马斯.杰斐逊是研究欧几里得著作的人之一，当它在 1776 年写独立宣言时，他就想要遵循类似的方法，首先声明一些简单的 “公理”，然后现去 “证明” 更多复杂的结论：

“我们认为以下事实不言而喻：人人生而平等，造物主赋予他们若干不可让与的权利，其中包括生存权、自由权和追求幸福的权利。”

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因此，我们... 宣布，这些联合的殖民地是，并且理应是自由和独立的国家。

这只是欧几里得的数学思想对其它不同领域启发的一个例子。