序列和模式斐波那契序列

想象一下，你收到了一对小兔子，一只雄兔和一只雌兔。它们是非常特别的兔子，因为 它们永远不会死，而雌兔每月正好生一对新的兔子(总是另一对雄兔和雌兔)。

1

1

2

3

5

8

在第一个月, 兔子很小而且不可能繁殖 - 但是它们长得非常快。

一个月后，兔子长大并开始交配…

… 再过一个月, 它们生下首对兔宝宝。现在你有两对兔子了。

下一个月，它们将生下另一对兔宝宝。同时，第一对兔宝宝长大。现在你总共有三对兔子了。

在第五个月，原来那对兔子会再生一对新的兔宝宝。同时，它们的下一代兔宝宝已经长大到可以生下一对兔孙子了。现在你已经有5对兔子了。

在第六个月，有多达3对兔子能够生兔宝宝：原来那对，以及它们早先生的前两对。

在接下来1个月你会有13对兔子：8对是上月已有的，加上5对新生兔宝宝。你能检测出 这个序列中的模式吗？ 继续

某个月内兔子的数量是前之两个月的数量和是之前一个月数量的两倍。 换句话说，你必须将序列中前两项相加，才能得到 下一项。序列以都为1的两项开始，递归公式是

xn = xn−1 + xn−2

再过几个月后，你能计算出兔子的数目吗？

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , , , , , …

如此12个月后，你将有144对兔子！

这个数字序列称为斐波那契序列，以意大利数学家列奥纳多·斐波那契的名字命名。

在他书中的一页上，他还研究了兔子的繁殖模式 — 这就是为什么斐波那契数是以他的名 字命名。

当然，斐波那契数并不是兔子在现实生活中的_实际_数量。兔子不是每个月生恰好一个 雄兔和一个雌兔后代，我们也甚至当作兔子不会死。

但事实证明，自然界中还有许多其它地方_确实_体现出斐波那契数，例如植物的螺旋。 你能计算出每个方向有多少个螺旋吗？

在这两种情况下，螺旋的数目都是连续的斐波那契数。其他许多植物也是如此：下次你出去的时候，数一数一朵花的花瓣数，或者一根茎上的叶子数。你经常会发现它们是斐波那契数！

当然，这不仅仅是巧合。自然喜欢斐波那契序列有一个很重要的原因，稍后你将进一步了解。

黄金分割率

就像三角形数和平方数以及我们 以前看到的其他序列一样，斐波那契序列可以使用几何图案进行可视化：

在每一步，正方形形成一个更大的矩形。它的宽度和高度总是两个连续的斐波那契数。 矩形的__纵横比__是其宽度和高度的比：

注意，随着我们添加越来越多的正方形，纵横比似乎越来越接近于1.6左右的特定数字。 这个数字被称为黄金分割率，通常用希腊字母φ(“phi”)表示。 它的准确值是

1+52=1.61803398875…

许多人认为黄金分割比在美学上特别令人愉悦。这就是为什么艺术家和建筑师经常使用它， 就像这两个例子：

据说希腊雕塑家菲迪亚斯在雅典设计_帕台农神庙_时使用了黄金比例。他名 字的第一个字母φ是我们现在用来表示黄金分割比的符号。

西班牙艺术家萨尔瓦多·达利的 最后的晚餐圣礼 是许多应用了黄金比例 的画作之一。在背景中，你还可以看到一个大的十二面体。

我们可以用斐波那契数的两个连续项相除相加相减来近似黄金分割比。

然而，事实证明，φ的精确值不能写成一个简单的分数： 它是一个无理数，就像圆周率π 和 根号2 以及其它一些你以前见过的数。

斐波那契螺旋

对于花来说，选择一个合适的角度是很重要的：叶子或种子必须大致等距分布，这样它们 才能获得最大的阳光和营养。在下面的图表中，你可以探索向日葵种子之间不同角度的外观：

菲波那科斯

到目前为止，我们只使用了斐波那契数的递推方程。实际上，也有一个显式的方程 式——只是更难找到它：

Fn=151+52n−1−52n

我们也可以尝试为斐波那契数选择不同的起始点。例如，如果我们从2，1开始, …，而不是 1，1开始，…，我们得到一个序列，它叫做__卢卡斯序列__。

结果表明，无论你选择哪两个起始数字，结果序列都共有许多属性。例如，连续项的 比将_总是_收敛于黄金比率。

${a}, ${b}, ${a+b}, ${a+2×b}, ${2×a+3×b}, ${3×a+5×b}, ${5×a+8×b}, ${8×a+13×b}, …

还有许多其他的谜题、模式和应用与斐波那契数相关。以下是几个例子，你可以自己尝试：