更改语言

Englishعربى中文DeutschEspañolHrvatskiItalianoPortuguêsРусскийSvenska

登录到Mathigon

要么

新账户     重设密码     

序列和模式
预告片
介绍
算术序列和几何序列
形数
序列作為函數
斐波那契序列
特殊序列
帕斯卡三角
极限与收敛

分享

重置进度

这将删除您在本课程中所有章节的进度和聊天数据，并且无法撤消！

词汇表

选择左侧的一个关键字...

序列和模式帕斯卡三角

阅读时间: ~15 min

下面你可以看到一个使用简单模式创建的数字金字塔：它从顶部的一个“1”开始，下面 的每一个单元格都是上面两个单元格的和。将鼠标悬停在某些单元格上，查看它们是如 何计算的，然后填写缺少的单元格：

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
495
792
924
792
495
66
12
1

这个图只显示了前12行，但理论上我们可以永远继续，在底部添加新行。请注意，这个 三角形是，这可以帮助你计算一些单元格。

这个三角形叫做帕斯卡三角形，以法国数学家 布莱斯·帕斯卡的名字命名。他是最早研究其模式和性质的欧洲数学家 之一，但许多世纪前其他文明已经知道这一点：

公元前450年，意大利数学家宾格拉将这个三角称为 梅鲁山的楼梯， 以一座神圣的印度教山命名。

在伊朗，它被称为__哈亚姆三角__(مثلث خیام), 是以波斯诗人和数学家 奥玛尔·哈亚姆的名字命名的。

在中国，数学家贾宪也发现了这个三角形，但它是以他的继任者杨辉 命名的:杨辉三角。

帕斯卡的三角形可以用一个非常简单的模式来创建，但是它充满了令人惊讶的模式和特性。 这就是为什么几百年来它一直吸引着世界各地的数学家。

查找序列

在前面的部分中，你看到了无数不同的数学序列。事实证明，其中许多也可以在帕斯卡 三角形中找到：

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1

两侧第一个斜线中的数都是.

两侧第二个斜线中的数是.

两侧第三个斜线中的数是.

第四个斜线中的数是.

如果你将一行中的所有数字相加，它们的和形成另一个序列:.

在第二单元格为素数的行中，数素后面的所有数都是该质数的。

上图以不同颜色突出显示“浅”斜线。如果我们把每个斜线上的数相加，就得到了:.

当然，这些模式中的每个都有一个数学原因来解释它的出现。也许你能找到一些！

你可能会问的另一个问题是一个数字在帕斯卡三角形中出现的频率。很明显，有无限 多的1，一个2，而且其它数字都会出现在 两边的第二个斜线中。

三角形中间的一些数字也会出现三到四次。甚至有几个出现了六次：在上面的三角形中， 你可以看到120和3003四次，在第120行和第3003行中，它们还 会再出现两次。

因为3003是一个三角形数，它实际上在三角形_第三条_斜线上又出现了两次 — 总共 出现了八次。

不知道三角形中是否还有其它出现八次的数字，或者是否有出现八次以上的数。美国 数学家大卫·辛格马斯特假设，数字在帕斯卡三角形中出现的频率 有一个固定的界限，但还没有得到证实。

整除性

帕斯卡三角形中的一些模式不太容易被发现。把下图中所有偶数单元格点亮显示：

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1

帕斯卡三角形中的偶数看起来形成了另一个小的.

手动为每个单元格着色需要挺长时间，但在这里，如果你要对更多行执行这样的操作 你就可以看到会发生什么。单元格里的数被其它数整除又会怎么样呢？

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1
1
19
171
969
3876
11628
27132
50388
75582
92378
92378
75582
50388
27132
11628
3876
969
171
19
1
1
20
190
1140
4845
15504
38760
77520
125970
167960
184756
167960
125970
77520
38760
15504
4845
1140
190
20
1
1
21
210
1330
5985
20349
54264
116280
203490
293930
352716
352716
293930
203490
116280
54264
20349
5985
1330
210
21
1
1
22
231
1540
7315
26334
74613
170544
319770
497420
646646
705432
646646
497420
319770
170544
74613
26334
7315
1540
231
22
1
1
23
253
1771
8855
33649
100947
245157
490314
817190
1144066
1352078
1352078
1144066
817190
490314
245157
100947
33649
8855
1771
253
23
1
1
24
276
2024
10626
42504
134596
346104
735471
1307504
1961256
2496144
2704156
2496144
1961256
1307504
735471
346104
134596
42504
10626
2024
276
24
1

哇哦！着色的单元格总是以的形式出现(除了少数单个单元格， 可以将其视为大小为1的三角形）。

如果我们继续将被整除2的单元格模式着色，我们得到一个非常类似于右边的 谢尔宾斯基三角形。像这样的形状，由一个简单的模式组成，它看起来会一 直延续下去，同时变得越来越小，被称为分形。以后你会学习 更多关于它们的知识…

谢尔宾斯基三角形

谢尔宾斯基三角形

二项式系数

帕斯卡三角还有一个更重要的性质，我们需要讨论它。为了理解这一点，我们将尝试用 两种完全不同的方法来解决同一个问题，然后看看它们之间的关系。

即将上线，敬请期待

Archie