序列和模式形数

几何序列的名称非常令人困惑，因为它们与几何没有任 何关系。事实上，这个名字是在几百年前发明的，当时数学家们以更为几何的方式思 考_乘法_和_平方根_。

然而，还有许多其他的序列_是_基于特定的几何图形的，其中一些已经在简介中看到。 这些序列通常被称为形数，在本节中，我们将更详细 地了解其中的一些序列。

三角形数

__三角形数__是通过创建逐渐增大的三角形而生成的：

经看到了三角形数的递归公式： xn= xn−1+nn2−12×xn−1−1.

保龄球总是有10个球，台球总是有15个球，这不是巧合：它们都是三角形的数字！

不幸的是，如果我们不首先计算前面所有的三角形数，就想找到第100个或第5000个三 角形数，递归公式并不是很有用。但是，就像我们之前对算术序列和几何序列所做的那 样，我们可以尝试找到一个三角形数的显式公式。

敬请期待: 三角形数公式的动画证明

三角形数似乎在数学中随处可见，在这门课程中你会再次看到它们。一个特别有趣的事实是， _任意_整数都可以写成最多三个三角形数的和：

对_所有_整数都有效的这个事实是由德国数学家 卡尔·弗里德里希·高斯于1796年证明，那年高斯19岁!

平方数和多边形数

另一个基于几何形状的序列是__平方数__：

1, 4*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+3*, 9*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+5*, 16*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+7*, +9, +11, +13, +15, …

这个序列是通过对每个整数进行平方而得到的(12, 22, 32, …), 但事实显示 还有另一种模式：相邻的平方数之间的差是以奇数三角形数整数递增。

此外，每个平方数也是两个相邻三角形数的和。例如， ${n×n} = ${n×(n+1)/2} + ${n×(n-1)/2}。你能看出来我们如何沿着对角线 把每一个正方形分成两个三角形吗？

四面体和立方数

当然，我们也不必局限于二维的形状和模式。我们可以把球体堆成小金字塔，就像你在 超市堆橙子一样：

数学家通常称这些金字塔为四面体，并将由此产生的序列 称为四面体数。

敬请期待: 关于四面体数，立方数和圣诞节的12天的更多内容。