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对称组和墙纸

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有些形状具有多个对称性-让我们以一个简单的例子来看一下正方形

上面已经显示了一个正方形具有个反射轴。

它还具有°°°的旋转对称性。

最后,我们可以将“什么都不做”考虑为另一种特殊的对称性-因为结果(显然)与以前相同。有时称为身份

总共,我们发现了不同的“正方形的对称性”。

现在,我们实际上可以开始对这些对称性进行一些算术运算。例如,我们可以_添加_两个对称以获得新的对称:

+=
+=

只要添加一个正方形的两个对称,就可以得到一个新的对称。这是一个“对称计算器”,您可以自己尝试:

+
=
×
+
+
+
+
+
+
+
+

花一些时间玩对称计算器,然后尝试找到任何模式。你能完成这些观察吗?

*增加两个旋转将始终产生 (或身份)。 *添加两个反射将始终 (或身份)。 *以相反的顺序添加相同的两个对称结果。 *添加身份

您可能已经意识到添加对称实际上与添加非常相似整数

  1. Adding two symmetries/integers always gives another symmetry/integer:
    +=
    12+7=19
    Continue
  2. Adding symmetries/integers is associative:
    ++=++
    4+2+5=4+2+5
    Continue
  3. Every symmetry/integer has an inverse, another symmetry/integer which, when added, gives the identity:
    +=
    4+–4=0
    Continue

在数学中,具有这些属性的任何集合都称为group 。一些团体(例如正方形的对称性 )只有有限数量的元素。其他人(例如整数 )是无限的。

在此示例中,我们从正方形的八个对称开始。实际上,每个几何形状都有自己的对称组 。它们都有不同的元素,但是它们始终满足上述三个规则。

组在数学中无处不在。元素可以是数字或对称性,也可以是多项式,置换,矩阵,函数…… _任何_符合这三个规则的东西。 _小组理论_的关键思想是,我们对单个元素不感兴趣,而对_它们之间如何相互作用_不感兴趣。

例如,不同分子的对称基团可以帮助科学家预测和解释相应材料的特性。

小组还可以用来分析棋盘游戏的制胜策略,药物中的病毒行为,音乐中的不同谐调以及许多其他概念……

CCl 4分子(左)和腺病毒(右)的特性由它们的对称性决定。

墙纸组

前面的部分中,我们看到了与两种不同的变换相对应的两种不同的对称性:旋转和反射。但是,第三种刚性转换也具有对称性:

平移对称性不适用于花朵或蝴蝶等孤立的对象,但适用于延伸到各个方向的规则模式:

六角形蜂窝

陶瓷墙地砖

除了反射,旋转和平移对称性之外,还有第四种类型: 滑行反射 。这是反射和沿与反射轴相同的方向平移的组合。

图案可以具有不止一种类型的对称性。就像正方形一样,我们可以找到模式的对称组 ,其中包含所有不同的对称性。

这些小组并没有告诉您有关图案的外观 (例如颜色和形状)的更多信息,而只是告诉您如何_重复_图案。多个不同的模式可以具有相同的对称组-只要以相同的方式排列和重复该模式即可。

这两种模式具有相同的对称性,即使它们看起来非常不同。但是对称性与颜色或表面形状无关。

这两种模式也具有相同的对称性-即使它们看起来更类似于左侧的对应模式,而不是彼此相似。

事实证明,尽管存在无限多种可能的模式,但它们都只有17个不同的对称组之一。这些称为墙纸组 。每个墙纸组均由平移,旋转,反射和滑动反射的组合定义。您可以在这些示例中看到旋转中心反射轴吗?

Group 1 – P1

Only translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p2.svg" width=360, height=240) p.caption Group 2 – P2
Rotations of order 2, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p3.svg" width=360, height=240) p.caption Group 3 – P3
Rotations of order 3 (120°), translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p4.svg" width=360, height=240) p.caption Group 4 – P4
Four rotations of order 2 (180°), translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p6.svg" width=360, height=240) p.caption Group 5 – P6
Rotations of order 2, 3 and 6 (60°), translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/pm.svg" width=360, height=240) p.caption Group 6 – PM
Parallel axes of reflection, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/pmm.svg" width=360, height=240) p.caption Group 7 – PMM
Perpendicular reflections, rotations of order 2, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p4m.svg" width=360, height=240) p.caption Group 8 – P4M
Rotations (ord 2 + 4), reflections, glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p6m.svg" width=360, height=240) p.caption Group 9 – P6M
Rotations (ord 2 + 6), reflections, glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p3m1.svg" width=360, height=240) p.caption Group 10 – P3M1
Rotations of order 3, reflections, glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p31m.svg" width=360, height=240) p.caption Group 11 – P31M
Rotations of order 3, reflections, glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p4g.svg" width=360, height=240) p.caption Group 12 – P4G
Rotations (ord 2 + 4), reflections, glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/cmm.svg" width=360, height=240) p.caption Group 13 – CMM
Perpendicular reflections, rotations of order 2, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/pmg.svg" width=360, height=240) p.caption Group 14 – PMG
Reflections, glide reflections, rotations of order 2, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/pg.svg" width=360, height=240) p.caption Group 15 – PG
Parallel glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/cm.svg" width=360, height=240) p.caption Group 16 – CM
Reflections, glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/pgg.svg" width=360, height=240) p.caption Group 17 – PGG
Perpendicular glide reflections, rotations of order 2, translations

不幸的是,没有简单的理由说明为什么有_17_个这样的小组,要证明这一点需要更高级的数学。相反,您可以尝试为17个壁纸组的每一个绘制自己的重复图案:

Examples of other students’ drawings

墙纸组都是关于平面二维图案的。我们可以对三维图案进行类似的处理:这些称为晶体学群,其中有219个!

除了平移,反射,旋转和滑行反射之外,这些组还包括滑行平面螺旋轴之类的对称性(拧开瓶子时请考虑一下运动)。

氮化硼的分子排列在具有三维对称基团的该晶格中。