序列和模式介绍

许多使用数学的专业人士都对数学的一个特定方面感兴趣 – 查找模式，并且专业人士能够用它预测未来。以下是几个例子：

在过去的十年里，世界各地的__警察部门__开始更多地依赖数学。特殊的算法可以利用过去犯罪的数据来预测未来犯罪发生的时间和地点。例如，预警(“预测性警务”的简称)系统帮助洛杉矶部分地区的犯罪率降低了12%！

事实证明，__地震__与犯罪模式相似。就像一次犯罪可能引发报复，地震也可能引发余震。在数学中，这被称为“自激过程”，并且有一些方程可以帮助预测下一个过程何时可能发生。

银行家们还查看股票价格、利率和货币汇率的历史数据，以估计未来__金融市场__的变化。能够预测一只股票的价值是涨是跌，这是非常有利可图的！

专业的数学家使用高度复杂的算法来查找和分析所有这些模式，但我们将从一些更基本的方法开始。

简单序列

在数学中，序列通常是一系列遵循特定模式的数字(或其他对象)。序列中的单个元素称为序列项。

下面是一些序列的例子。你能找到他们的模式并计算出接下来的两个序列项吗？

3, 6*{span.arrow}+3*, 9*{span.arrow(hidden)}+3*, 12*{span.arrow(hidden)}+3*, 15*{span.arrow(hidden)}+3*, , … 模式：“在前一个数字上加3，得到下一个数字。”

4, 10*{span.arrow(hidden)}+6*, 16*{span.arrow(hidden)}+6*, 22*{span.arrow(hidden)}+6*, 28*{span.arrow(hidden)}+6*, , , … 模式：“在前一个数字上加6，得到下一个数字。”

3, 4*{span.arrow(hidden)}+1*, 7*{span.arrow(hidden)}+3*, 8*{span.arrow(hidden)}+1*, 11*{span.arrow(hidden)}+3*, , , … 模式：“交替地在前一个数字上加 1和3，得到下一个数字。”

1, 2*{span.arrow(hidden)}×2*, 4*{span.arrow(hidden)}×2*, 8*{span.arrow(hidden)}×2*, 16*{span.arrow(hidden)}×2*, , , … 模式：“将前一个数字乘以2，得到下一个数字。”

结尾的点（…）只意味着序列可以一直延续下去。在数学中引用这样的序列时，我们通常用一个特殊的变量来表示每个项：

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, …

x_后面的小数字称为__下标_，表示该项在序列中的位置。这意味着我们可以用来表示序列中的第n项。

数学中的序列不一定总是数字。这是一个由几何图形组成的序列 — 尺寸不断增大的三角形：

在每一步中，我们都要在前一个三角形中再添加一行。这些新行的长度也每次增加一行。你能看出模式吗？

1, 3*{span.arrow}+2*, 6*{span.arrow}+3*, 10*{span.arrow}+4*, 15*{span.arrow}+5*, 21*{span.arrow}+6* +7, +8, …

我们还可以使用特殊的公式来描述这个模式:

xn = xn−1 + n

为了得到第_n_个三角形的数，我们取三角形的数并加上_n_。例如，如果_n_ = ${n}，公式将变为 x${n} = x${n-1} + ${n}.

将xn表示成序列中之前项函数的公式称为递归公式, 只要知道序列中的，就可以计算出以下所有项。

由几何图形组成的另一个序列是__平方数__。每项都是由越来越大的正方形构成的：

对于三角形数，我们发现了一个递归公式: 它用序列_前一项_的函数告诉你序列的_下一项_。对于平方数，我们可以做得更好：一个直接告诉你第n项的方程，而不需要先计算前面的所有项：

xn =

像这样的方程被称为显式公式。例如，我们可以使用它来计算第13个平方数是，而不需要首先找到前面的12个平方数。

让我们总结一下迄今为止我们看到的所有定义：

序列是数字、几何图形或其它对象的列表，它们遵循特定的模式。序列中的单个项称为项，并用xn等变量表示。

序列的递归公式是把第n项的值以的函数的方式告诉你。你还必须指定第一项。

序列的一个显式公式把第n项的值以的函数的方式告诉你，而不涉及序列中的其它项。

在下面的部分中，你将了解许多不同的数学序列、令人惊讶的模式和意外的应用程序。

首先，让我们来看看完全不同的东西：动作序列摄影。摄影师快速连续拍摄许多张照片，然后将它们合并成一幅图像：

你能看到滑雪者是如何形成一个序列的吗？模式不是相加或相乘，而是几何变换。在两个连续的步骤之间，滑雪者同时被平移和了。

以下是一些动作序列摄影的例子，供你欣赏：