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四边形

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先前的课程中,我们研究了三角形的许多不同属性。现在让我们看一下四边形。

_正四边形_称为 。它的所有侧面都有相同的长度,并且所有角度都相等。

正方形是四边形,具有四个相等的边四个相等的角度

对于稍微“不太规则”的四边形,我们有两个选择。如果我们只是希望_角度_相等,我们将得到一个矩形 。如果我们只是希望_双方_平等,就会得到菱形

矩形是具有四个相等角度的四边形。

菱形是具有四个相等边的四边形。

还有其他一些四边形,它们的规则性甚至更低,但仍然具有某些重要的特性:

如果两对相对平行 ,我们得到一个__平行四边形

如果两对相邻边的长度相同,则得到__风筝

如果至少一对相对的边平行,我们将得到一个梯形

四边形可以归为此类中的多个。我们可以将不同类型的四边形的层次结构可视化为维恩图

例如,每个矩形也是和每个也是风筝。 菱形正方形和矩形梯形。

为了避免歧义,我们通常只使用最具体的类型。

现在,在左侧灰色框中的任意位置选择四个点。 我们可以将它们全部连接成一个四边形。

让我们找到这四个边的中点。如果我们连接中点,我们将得到

尝试移动外部四边形的顶点,并观察较小的顶点发生了什么。它看起来是不是_任何_四边形,但总是一个

但是为什么会这样呢?为什么_任何_四边形的结果总是总是平行四边形?为了帮助我们进行解释,我们需要绘制原始四边形的对角线之一。

对角线将四边形分成两个三角形 。现在您可以看到内部四边形的两个边实际上是这些三角形的

在上一课程中,我们显示了三角形的中段始终与其底线平行。在这种情况下,这意味着这两个侧面都平行于对角线-因此它们也必须彼此

我们可以四边形的第二个对角线做完全相同的操作,以表明两对相对的边是平行的。这就是我们需要证明内四边形为平行四边形的全部。

平行四边形

事实证明,平行四边形具有许多其他有趣的特性,除了相对的侧面是平行的之外。以下六个陈述中哪一个是正确的?

The opposite sides are congruent.
The internal angles are always less than 90°.
The diagonals bisect the internal angles.
The opposite angles are congruent.
Both diagonals are congruent.
Adjacent sides have the same length
The two diagonals bisect each other in the middle.

当然,仅“观察”这些属性是不够的。为了确保它们_始终是_真实的,我们需要_证明_它们:

相反的侧面和角度

让我们尝试证明平行四边形中的相对边和角度总是一致的。

首先绘制平行四边形的对角线之一。

对角线与平行四边形的边形成四个新角度。两个红色角度和两个蓝色角度交替的角度 ,因此它们必须

现在,如果我们查看由对角线创建的两个三角形 ,我们将看到它们具有两个全等角和一个全等边 。由一致条件,两个三角形都必须一致。

这意味着三角形的其他对应部分也必须是全等的:特别是,两对相对的边是全等的,而两对相反的角度是全等的。

事实证明,反之亦然:如果四边形中的两对相对的边(或角度)相等,则四边形必须是平行四边形。

对角线

现在证明平行四边形中的两个对角线一分为二。

让我们考虑一下对角线生成的两个黄色三角形:

*我们刚刚证明两个绿色边是一致的,因为它们是平行四边形的相对边。 * 两个红色角度两个蓝色角度是一致的,因为它们是

条件下,两个黄色三角形也必须相等。

现在我们可以使用全等三角形的对应部分也全等这一事实来得出结论: AM = CMBM = DM 。换句话说,两个对角线在它们的中点相交。

像以前一样,情况也相反:如果四边形的两个对角线一分为二,则四边形为平行四边形。

风筝

上面我们显示了两对平行四边形的边是一致的。在风筝中,两对_相邻的_边是一致的。

_风筝_这个名字显然来自其形状:看起来就像您可以在空中飞翔的风筝。但是,到目前为止,在所有特殊的四边形中,风筝是唯一也可以凹入的风筝:如果风筝的形状像飞镖或箭头:

凸风筝

看起来像箭的凹形风筝

您可能已经注意到,所有风筝都是 对称轴

对角线将风筝分成两个相等的三角形 。我们知道,它们在SSS条件下是一致的:两个三角形都有三个一致的边 (红色,绿色和蓝色)。

因此,使用CPOCT ,我们知道相应的角度也必须是全等的。

例如,这意味着对角线两端的两个角度的

我们可以走得更远:如果我们画另一个对角线,我们将得到另外两个较小的三角形 。由于SAS条件,它们也必须是全等的:它们具有相同的两个侧面和夹角

这意味着角度α也必须与角度β相同。由于它们相邻,因此α和β的补充角都必须为°

换句话说,风筝的对角线总是

四边形面积

在上一课程中计算三角形的面积时,我们使用了将其转换为的技巧 。事实证明,我们也可以对某些四边形执行此操作:

平行四边形

尝试在左侧绘制一个面积与平行四边形相同的矩形。

您能看到左侧缺少的三角形 右边的重叠三角形因此,平行四边形的面积为

面积= 基数 × 高度

测量平行四边形的高度时要小心:它通常与两侧之一不同。

梯形

回想一下梯形是具有一对平行边的四边形。这些平行的侧面称为梯形的底部

像以前一样,尝试绘制一个具有与此梯形相同面积的矩形。 您能看到左侧和右侧缺失和添加的三角形如何抵消吗?

当前矩形的高度 梯形平行边

矩形的宽度之间的距离梯形的两个不平行边的这称为梯形的中段

三角形一样,梯形的中段其两个碱基的 。中段的长度是碱基长度的平均值: a+c2

如果将所有这些结合起来,我们将得到一个具有平行边ac以及高度h的梯形面积的方程:

A=h×a+c2

风筝

在此风筝中, 两个对角线形成围绕风筝的大矩形的宽度和高度。

这个矩形的面积是风筝面积的您能看到组成风筝的四个三角形中的每个三角形与外面的四个间隙如何相同吗?

这意味着风筝的面积与对角线 d1 d2

面积 = 12 d1 × d2

菱形

菱形是具有四个全等边的四边形。您可能还记得,每个菱形都是 –还有

这意味着要找到菱形的面积,我们可以将方程式用于平行四边形的面积,也可以将其用于风筝的面积:

面积 = 基数 × 高度 = 12 d1 × d2

在不同的情况下,可能会给您菱形的不同部分(侧面,高度,对角线),您应该选择最方便的方程式。