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四边形

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先前的课程中我们研究了三角形的许多不同属性。现在让我们看一下四边形。

正四边形 称为 。它所有边都有相同的长度,并且所有角度都相等。

正方形 是四边形,具有四个相等的边四个相等的角度

对于稍微“不太正”的四边形,我们有两个选择。如果我们只是希望 角度 相等,我们将得到一个 矩形 。如果我们只是希望 边长 相等,就会得到 菱形

矩形 是具有四个相等角度的四边形。

菱形 是具有四个相等边的四边形。

还有其它一些四边形,它们的正规性更差,但仍然具有某些重要的特性:

如果两对 对边 平行 ,我们将得到一个 平行四边形

如果两对 相邻 边的长度相同,则得到 风筝形

如果至少一对对边平行,我们将得到一个 梯形

诸多四边形可以按这些分类方式归入其中多个种类。我们可以将不同四边形的类型层次结构可视化为维恩图

例如,每个矩形也是,同时每个也是风筝形。 一个菱形个正方形,而且一个矩形梯形。

为了避免歧义,我们通常只使用最具体的类型。

现在,在左侧灰色框中的任意位置选择四个点, 将它们全部连接成一个四边形。

让我们找到这个边的中点。如果我们连接中点,我们将得到

尝试移动外部四边形的顶点,并观察较小的顶点发生了什么。看起来是不是对于 任何 四边形,总是得到一个

但是为什么会这样呢?为什么 任何 四边形的结果总是平行四边形?为了帮助我们进行解释,我们需要绘制原始四边形的一条对角线

对角线将四边形分成两个三角形 。现在你可以看到内部四边形的两个边实际上是这些三角形的

上一课程中我们显示了三角形的中位线始终与其底线平行。在这种情况下,这意味着这两个边都平行于对角线-因此它们也必定彼此

我们可以对四边形的第二个对角线做完全相同的操作,以表明两对相对的边是平行的。这就是我们证明内四边形为平行四边形所需的全部。

平行四边形

事实证明,平行四边形具有许多其他有趣的特性,除了相对的边是平行的之外。以下六个陈述中哪些个是正确的?

对边相等.
内角总是小于 90°.
对角线二等分内角。
对角相等。
两个对角线等长。
两边等长。
两条对角线交点互相等分。

当然,仅“观察”这些属性是不够的。为了确保它们 始终 正确,我们需要 证明 它们:

对边和对角

让我们尝试证明平行四边形中的相对边和角度总是相等的。

首先绘制平行四边形的对角线之一。

对角线与平行四边形的边形成四个新角。两个红色角和两个蓝色角交替的角 ,因此它们必须

现在,如果我们查看由对角线创建的两个三角形 ,我们将看到它们具有两个全等角和一个全等边 。由全等条件,两个三角形都必定全等。

这意味着三角形的其它对应部分也必定是相等的:特别是,两组对边分别是相等,而两组对角分别是相等的。

事实证明,反之亦然:如果四边形中的两组相对的边(或角度)相等,则四边形必定是平行四边形。

对角线

现在证明平行四边形中的两个对角线互相一分为二。

让我们考虑一下对角线生成的两个黄色三角形:

  • 我们刚刚证明两个绿色边是相等的,因为它们是平行四边形的相对边。
  • 两个红色角两个蓝色角是相等的,因为它们是

条件,两个黄色三角形也必定全等。

现在我们可以使用全等三角形的对应部分也相等这一事实来得出结论: AM = CMBM = DM 。换句话说,两个对角线在它们的中点相交。

像以前一样,相反情况也成立:如果四边形的两个对角线互相一分为二,则四边形为平行四边形。

风筝形

上面我们显示了平行四边形的两对分别相等。在风筝形中,两组 相邻 边是相等的。

风筝 这个名字显然来自其形状:看起来就像你可以在空中放飞的风筝。但是,到目前为止,在所有特殊的四边形中,风筝形是唯一一个也可以凹陷的:它的形状可以像飞镖或箭头:

凸形风筝

看起来像箭头的凹风筝形

你可能已经注意到,所有风筝形都是 对称轴

对角线将风筝形分成两个全等的三角形 。我们知道,它们在SSS条件下是全等的:两个三角形都有三个相等的边 (红色,绿色和蓝色)。

因此,使用CPOCT ,我们知道相应的角度也必定是相等的。

这意味着一些推论,例如 对角线是两端的两个角

我们可以走得更远:如果我们画另一个对角线,我们将得到另外两个较小的三角形 。因为SAS条件,它们也必定是全等的:它们具有相同的两边及其夹角

这意味着 角α也必定与 角β相等。由于它们相邻,因此α和β互为补角,两者都是°

换句话说,风筝形的对角线总是互相

四边形面积

在上一课程中计算三角形的面积时,我们使用了将其转换为的技巧。事实证明,我们也可以对某些四边形执行此操作:

平行四边形

尝试在左侧绘制一个面积与平行四边形相同的矩形。

你能看出左侧缺少的三角形右侧重叠的三角形么? 因此,平行四边形的面积为

面积 = 底边 × 高度

测量平行四边形的高度时要小心:它通常与两边的边长不同。

梯形

回想一下梯形是具有一对平行边的四边形。这些平行的边称为梯形的 底部

像之前一样,尝试绘制一个具有与此梯形相同面积的矩形。 你能看到左侧与右侧中缺失和多出的三角形是如何抵消的吗?

梯形的 高度是其 平行边之间的

)梯形的 宽度是其不平行的两边之间的距离 。 这称为梯形的 中位线

三角形一样,梯形的中位线其两个底边 。中位线的长度是两个底边长度的平均值: a+c2

如果将所有这些结合起来,我们将得到一个具有平行边ac以及高度h的梯形面积的方程:

A=h×a+c2

风筝形

在此风筝形中, 两个对角线成为围绕风筝形的大矩形的宽度和高度。

这个矩形的面积风筝形的面积。 你能看出组成风筝形的四个三角形中的每个三角形与外面间隙中的四个三角形如何相同吗?

这意味着风筝形的面积可以用对角线 d1 d2来表示:

面积=12d1×d2

菱形

菱形是具有四个全等边的四边形。你可能还记得,每个菱形都是个,而且还是个

这意味着要找到菱形的面积,我们可以将其方程式用平行四边形的面积公式表示,也可以用风筝形的面积公式表示:

面积 = 底边 × = 12 d1 × d2.

在不同的情况下,可能会提供给你菱形的不同部分信息(边长,高度,对角线长度),你应该选择最方便的方程式来计算面积。

Archie