Untitled Course多边形

#多边形和多面体

多边形是只有直边的封闭的平面形状。多边形可以具有任意数量的边和角，但是边不能弯曲。以下哪个形状是多边形？

根据多边形的边数，我们给多边形取不同的名称：

三角形
3条边

四边形
4条边

五角形
5条边

六角形
6条边

七角形
7条边s

八角形
8条边

多边形中的角

每个具有 n 个边的多边形也具有 n 个内角。我们已经知道三角形中的内角总和始终为°，但是其它多边形呢？

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}° =

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}° =

看起来四边形的内角总和始终为°–正好是三角形内角和的。这不是巧合：每个四边形都可以分成两个三角形。

较大的多边形也一样。我们可以将一个五边形分成个三角形，因此其内角总和为3×180°= °。我们可以将六角形分割为个三角形，因此其内角总和为4×180°= °。

具有 ${x} 条边的多边形的内角总和为 180°× ${x-2} = ${(x-2)*180}°。通常，具有 n 条边的多边形可以分为个三角形。因此，

n 边形的内角和 =n−2×180° 。

凸多边形和凹多边形

我们说多边形如果具有“向内部凹”的部分，则是 凹多边形 。你可以想象这部分已经“凹陷” 。非凹多边形称为 凸多边形 。

你可以通过两种方法轻松识别凹多边形：它们有至少一个内角大于180° 。它们还有至少一个对角线位于多边形外部。

另一方面，在凸多边形中，所有内角均小于°，所有对角线均位于多边形。

以下哪个多边形是凹的？

正多边形

我们说一个多边形是正的如果它的所有边都具有相同的长度，并且所有角度都具有相同的大小。这些形状中的哪些是正多边形？

正多边形的尺寸可以有很多不同-但是具有相同边数的所有正多边形都是！

我们已经知道多边形的所有内角和。对于常规多边形，所有内角和都具有，因此我们可以算出单个内角的大小：

角度= = 180°×x−2x=180°−360°x.

如果 n=3 我们得到一个等边三角形的内角 – 我们已知它必为°. 如果一个正多边形具有 ${x} 条边, 那么每个内角大小是 180° – 360°${x} = ${round(180-360/x)}°.

正多边形的面积

在这里，你可以看到一个具有 ${n} 条边的正多边形。每条边的长度都是 1m 。让我们尝试计算它的面积！

首先，我们可以将多边形分割成${toWord(n)}个。

我们已经知道这些三角形的，但我们也需要知道其才能够计算其面积。在常规多边形中，此高度有时称为边心距。

可以注意到，存在由边心距和等腰三角形底边的一半形成的直角三角形。这意味着我们可以使用三角函数！

等腰三角形的该底角 (我们称它为α) 是多边形内角大小的:

α=12180°−360°${n}=${round(90-180/n,2)}

要找到边心距，我们可以利用函数的定义：

tanα=oppositeadjacent=

⇒apothem=12s×tanα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

现在，等腰三角形的面积是

12base×height=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

多边形由${toWord(n)}个这样的等腰三角形组成，所有这些等腰三角形都具有相同的面积。因此，多边形的总面积为

A=${n}×${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

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多边形中的角

凸多边形和凹多边形

正多边形

正多边形的面积