词汇表

选择左侧的一个关键字...

柏拉图多面体

阅读时间: ~20 min

在本课程开始时,我们将正多边形定义为特别“对称”的多边形,其中所有边和角度都相同。我们可以为多面体做类似的事情。

正多面体 中,所有都是相同种类的正多边形,并且在每个顶点处都遇到相同数量的面。具有这两种特性的多面体被称为柏拉图多面体 ,以希腊哲学家柏拉图命名。

那么柏拉图多面体是什么样子?其中有多少种?要制作三维形状,我们需要在每个顶点至少有个面相交。让我们从最小的规则多边形开始:等边三角形:

如果我们创建一个多面体,每个顶点有三个等边三角形相交,形状在左侧。它被称为 四面体 ,有个面。 (”Tetra”在希腊语中表示“四”)。

如果四个等边三角形在每个顶点相遇,我们将获得不同的柏拉图实体。它被称为 八面体 ,有个面。 (”Octa”在希腊语中表示“八”。就像“Octagon”表示8边形,“Octahedron”表示8面体。)

如果每个顶点有个三角形相遇,我们得到 二十面体 。它有个面。 (“Icosa”在希腊语中的意思是“二十”。)

如果在每个顶点处有个三角形相遇,则会发生不同的情况:我们只是得到而不是三维多面体。

每个顶点上七个或更多的三角形也不会产生新的多面体:顶点周围没有足够的空间来容纳那么多三角形。

这意味着我们已经找到了由三角形组成的个柏拉图固体。让我们继续下一个常规多边形:正方形。

如果个正方形在每个顶点相交,我们得到 立方体 。就像骰子一样,它有个面。 立方体有时也称为 _六面体 ,在希腊语“hexa”表示“六”。_

如果每个顶点有个正方形相遇,我们将得到而且像以前一样,五个或更多正方形也将不起作用。

接下来,让我们尝试正五边形:

如果在每个顶点有个五边形相遇,我们得到 十二面体 。它有个面。 (“Dodeca”在希腊语中意为“十二”。)

像以前一样,四个或更多个五边形因为没有足够的空间。

下一个要尝试的规则多边形是六边形:

如果每个顶点都有三个六边形,我们会立即得到由于没有超过三个六边形的空间,因此似乎没有由六边形组成的柏拉图多面体。

具有六个以上边的所有正多边形也会发生同样的情况。它们不会镶嵌,我们当然也不会得到任何三维多边形。

这意味着只有种柏拉图固体!让我们一起看看所有这些:

四面体

个面
个顶点
条边

立方体

个面 个顶点
条边

八面体

个面 个顶点
条边

十二面体

个面 20个顶点
30条边

二十面体

个面 12个顶点

30条边

注意在立方体和八面体间变化时面和顶点的数量是如何的,以及十二和二十面体的边是如何的。这些成对的柏拉图多面体称为双重多面体

我们可以通过用顶点“替换”每个面,以及用面“替换”每个顶点来将一个多面体变成其对偶的。这些动画展示了是怎么转化的:

正四面体本身是双重的。由于它具有相同数量的面和顶点,因此交换它们不会改变任何东西。

柏拉图认为,宇宙中的所有物质都由四个元素组成:空气,土,水和火。他认为每个元素都对应一种柏拉图多面体,而第五种元素则代表整个宇宙。今天,我们知道有100多种不同的元素由球形原子组成,而不是多面体。

图片来自约翰内斯·开普勒的《和谐世界》(1619)

阿基米德多面体

柏拉图多面体是特别重要的多面体,但还有无数其他的。

例如, 阿基米德多面体仍然必须由正多边形组成 ,但是你可以使用多种不同的类型。它们以另一位希腊数学家锡拉丘兹的阿基米德命名,其中13种:

截四面体
8个面,12个顶点,18个边

立方八面体
14个面,12个顶点,24个边

截断的立方体
14个面,24个顶点,36个边

截断的八面体
14个面,24个顶点,36个边

菱形八面体
26个面,24个顶点,48个边

截头的八面体
26个面,48个顶点,72个边

扭棱立方体
38个面,24个顶点,60个边

三十二面体
32个面,30个顶点,60个边

截断的十二面体
32个面,60个顶点,90个边

截断的二十面体
32个面,60个顶点,90个边

小斜方截半二十面体
62个面,60个顶点,120个边

大斜方截半二十面体
62个面,120个顶点,180个边

扭棱十二面体
92个面,60个顶点,150个边

应用领域

柏拉图认为所有元素都由柏拉图多面体组成是错误的。但是普通的多面体具有许多特殊性质,使它们出现在自然界的其它地方–我们可以在科学和工程学中复制这些性质。

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

许多 病毒细菌 和其它小 生物 的形状都像二十面体 。例如,病毒必须将其遗传物质封闭在许多相同蛋白质单元的外壳内。二十面体是执行此操作的最有效方法,因为它由一些规则元素组成,但形状几乎像球形。

巴基球分子

蒙特利尔生物圈

许多 分子 形状像规则的多面体。最著名的例子是C60由60个碳原子排列成截二十面体的形状组成。

它是在1985年科学家研究星际尘埃时发现的。他们以建筑师巴基敏斯特·富勒的名字命名为“巴基球”(或巴基敏斯特富勒烯),该建筑师以建造相似外观的建筑而闻名。

八面体萤石

黄铁矿立方体

大多数 晶体 的原子排列成规则的网格,该网格由四面体八面体组成。当它们破裂或破碎时,你可以更大范围地看到这些形状。

八角形空间框架

巴黎卢浮宫博物馆

四面体和八面体非常坚固且稳定,这使它们在 建筑中 非常有用。 空间框架 可以支撑大型屋顶和重型桥梁的多边形结构。

足球

用于角色扮演游戏的多面体骰子

柏拉图多面体也可以用来制造 骰子 。由于它们的对称性,每一侧面都有着陆的可能性 ,因此骰子很公平。

截断的二十面体可能是世界上最著名的多面体:它是足球的形状。

Archie