词汇表

选择左侧的一个关键字...

柏拉图固体

阅读时间: ~25 min
此页面已自动翻译,可能包含错误。如果您想帮助我们审核翻译,请与我们取得联系!

在本课程开始时,我们将规则多边形定义为特别是“对称”多边形,其中所有边和角度都相同。我们可以为多面体做类似的事情。

在_规则多面体中,_所有都是相同种类的规则多边形,并且在每个顶点处都遇到相同数量的面。具有这两种特性的多面体被称为柏拉图固体 ,以希腊哲学家柏拉图命名。

那么柏拉图固体是什么样子?其中有多少种?要制作三维形状,我们需要在每个顶点至少有面相交。让我们从最小的规则多边形开始:等边三角形:

如果我们创建一个多面体,每个顶点有三个等边三角形相交,则形状在左侧。它被称为四面体 ,有面。 (“ Tetra”在希腊语中表示“四个”)。

如果四个等边三角形在每个顶点相遇,我们将获得不同的柏拉图实体。它被称为八面体 ,有面。 (“ Octa”在希腊语中表示“八”。就像“ Octagon”表示8边形,“ Octahedron”表示8面实体。)

如果每个顶点有三角形相遇,我们得到二十面体 。它有脸。 (“ Icosa”在希腊语中的意思是“二十”。)

如果在每个顶点处有三角形相遇,则会发生不同的情况:我们只是得到而不是三维多面体。

每个顶点上七个或更多的三角形也不会产生新的多面体:顶点周围没有足够的空间来容纳那么多三角形。

这意味着我们已经找到由三角形组成的柏拉图固体。让我们继续下一个常规多边形:正方形。

如果正方形在每个顶点相交,我们得到立方体 。就像骰子一样,它有面孔。 立方体有时也称为_六面体 ,在希腊语“六”表示“六”之后。_

如果每个顶点有正方形相遇,我们将得到而且像以前一样,五个或更多正方形也将不起作用。

接下来,让我们尝试规则的五边形:

如果在每个顶点有五边形相遇,我们得到十二面体 。它有脸。 (“ Dodeca”在希腊语中意为“十二”。)

像以前一样,四个或更多个五边形因为没有足够的空间。

下一个要尝试的规则多边形是六边形:

如果每个顶点都有三个六边形,我们会立即进行由于没有超过三个的空间,因此似乎没有由六边形组成的柏拉图式固体。

具有六个以上边的所有常规多边形也会发生同样的情况。它们不会细分,我们当然也不会得到任何三维多边形。

这意味着只有柏拉图固体!让我们一起看看所有这些:

四面体


顶点

立方体


顶点

八面体


顶点

十二面体

面孔
20个顶点
30条优势

二十面体

面孔
12个顶点
30条优势

注意如何面和顶点的数量立方体和八面体 ,以及十二和二十面体 ,而边次数 。这些成对的柏拉图固体称为双重固体

我们可以通过用顶点“替换”每个面,以及用面“替换”每个面来将多面体变成其对偶。这些动画展示了如何:

四面体本身是双重的。由于它具有相同数量的面和顶点,因此交换它们不会改变任何东西。

柏拉图认为,宇宙中的所有物质都由四个元素组成:空气,地球,水和火。他认为每个元素都对应一种柏拉图固体,而第五种元素则代表整个宇宙。今天,我们知道有100多种不同的元素由球形原子组成,而不是多面体。

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

阿基米德固体

柏拉图固体是特别重要的多面体,但还有无数其他。

例如, 阿基米德实体仍然必须由规则的多边形组成 ,但是您可以使用多种不同的类型。它们以另一位希腊数学家锡拉丘兹的阿基米德命名,其中有13位:

截四面体
8个面,12个顶点,18个边

立方八面体
14个面,12个顶点,24个边

截头立方体
14个面,24个顶点,36个边

截断的八面体
14个面,24个顶点,36个边

菱形八面体
26个面,24个顶点,48个边

截头的八面体
26个面,48个顶点,72个边

缓冲立方体
38个面,24个顶点,60个边

二十碳十二面体
32个面,30个顶点,60个边

截断的十二面体
32个面,60个顶点,90个边

二十面体截断
32个面,60个顶点,90个边

菱形十二面体
62个面,60个顶点,120个边

二十四面体二十面体截短
62个面,120个顶点,180个边

金丝十二面体
92个面,60个顶点,150个边

应用领域

柏拉图认为所有元素都由柏拉图固体组成是错误的。但是普通的多面体具有许多特殊性质,使它们出现在自然界的其他地方–我们可以在科学和工程学中复制这些性质。

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

许多病毒细菌和其他小生物的形状都像二十面体 。例如,病毒必须将其遗传物质封闭在许多相同蛋白质单元的外壳内。二十面体是执行此操作的最有效方法,因为它由一些规则元素组成,但形状几乎像球形。

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

许多分子的形状像规则的多面体。最著名的例子是C60由60个碳原子排列成截二十面体的形状组成。

它是在1985年科学家研究星际尘埃时发现的。他们以建筑师巴克敏斯特·富勒Buckminster Fuller )的名字命名为“ Buckyball”(或Buckminsterfullerene),该建筑师以建造相似外观的建筑而闻名。

Fluorite octahedron

Pyrite cube

大多数晶体的原子排列成规则的网格,该网格由四面体立方体八面体组成 。当它们破裂或破碎时,您可以更大范围地看到这些形状。

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

四面体和八面体非常坚固且稳定,这使它们在建筑中非常有用。 _空间框架_是可以支撑大型屋顶和重型桥梁的多边形结构。

Football

Polygonal role-playing dice

柏拉图固体也可以用来制造骰子 。由于它们的对称性,每一侧都有着陆的可能性 ,因此骰子很公平。

截短的二十面体可能是世界上最著名的多面体:它是足球的形状。