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镶嵌

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多边形在自然界中无处不在。如果要平铺较大的区域,它们特别有用,因为可以将多边形组合在一起而没有任何间隙或重叠。像这样的模式称为镶嵌

的蜂窝

锡纳奶蛇的皮

叶子的细胞结构

北爱尔兰巨人之路的玄武岩柱

菠萝皮

乌龟的壳

从古罗马到现在,人类已经在艺术,建筑和技术中复制了许多自然形态。这里有一些例子:

路面图案

英格兰伊甸园项目的温室

阿罕布拉的马赛克

伦敦大英博物馆的屋顶

悉尼蜂窝镶嵌馆

爬行动物平面规则划分的研究

在这里,你可以使用正多边形创建自己的镶嵌。只需将新形状从侧边栏拖动到画布上即可。哪些形状的镶嵌效果好?有没有完全不能镶嵌的形状?尝试创建有趣的模式!

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别的学生创建的镶嵌图案例子

来自正多边形的镶嵌

你可能已经注意到一些正多边形(例如)非常容易镶嵌,而另外一些(例如)似乎根本没有法镶嵌。

这与其内角的大小有关,这是我们之前学过的计算。在镶嵌中的每个顶点处 ,多个不同多边形的内角相交。我们需要所有这些角度加起来达到°,否则将存在间隙或重叠。

triangles

三角形 因为 6 × 60° = 360°

squares

方形 因为 4× 90° = 360°

pentagons

五角形 因为108°的倍数加起来不会等于360°。

hexagons

六边形 因为 3 × 120° = 360°

你可以类似地检查其它,就像五边形那样,具有7个或更多边的常规多边形不可镶嵌。这意味着能够镶嵌的正多边形只有是等边三角形,正方形和正六边形!

当然,你可以将不同种类的正多边形组合在一起进行镶嵌,前提是它们的内角之和正好为360°:

正方形和等边三角形
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

正方形和等边三角形
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

正六边形和等边三角形
120° + 120° + 60° + 60° = 360°

正六边形和等边三角形
120° + 60° + 60° + 60° + 60° = 360°

正六边形,正方形和等边三角形
120° + 90° + 90° + 60° = 360°

正八边形和正方形
135° + 135° + 90° = 360°

正十二等边和等边三角形
150° + 150° + 60° = 360°

正十二边形,正六边形和正方形
150° + 120° + 90° = 360°

非正多边形的镶嵌

我们也可以尝试使用非正多边形制作镶嵌,只要小心旋转和排列它们即可。

事实证明,你不仅可以镶嵌等边三角形,还可以镶嵌 任何三角形 !尝试移动此图中的顶点

三角形内角和的总为°。如果我们在镶嵌图案的顶点中每个角使用,我们得到360°:

更令人惊讶的是, 任何四边形 也可以嵌套!它们的内角和总为°,如果我们在镶嵌图案的顶点中每个角使用,我们得到360°。

五边形点棘手。我们已经看到 五边形 ,非正五边形呢?

pentagons-1
pentagons-2
pentagons-3

这是五边形镶嵌的三个不同示例。它们不是 五边形 ,但它们是完全有效的5边形。

到目前为止,数学家仅发现了15种带有(凸)五边形的镶嵌图案-最近的是在2015年发现的。

两年之后的2017年, 米夏埃尔·拉奥 发表了一份证明:除了已经找到的15个,没有其它的可能性了。你能用它们来做镶嵌吗?

艺术镶嵌

许多艺术家,建筑师和设计师在他们的作品中使用镶嵌图案,其中最著名的是荷兰艺术家M·C·埃舍尔。他的作品包含奇怪的,变异的生物,图案和风景:

“天空和水 I” (1938)

“蜥蜴” (1942)

“蜥蜴, 鱼, 蝙蝠” (1952)

“蝴蝶” (1948)

“两条鱼” (1942)

“贝壳和海星” (1941)

这些艺术品通常看起来既有趣又轻松,但其基本的数学原理与以前相同:角度,旋转,平移和多边形。如果数学不正确,则镶嵌将无法生效!

蜕变 II” M·C·埃舍尔 (1940)

彭罗斯瓷砖

到目前为止,我们看到的所有镶嵌图都有一个共同点:它们是 周期性的 。这意味着它们由规则模式组成,该模式会一次又一次地重复。它们可以在所有方向上永远持续下去,并且到处看起来都一样。

在1970年代,英国数学家和物理学家罗杰·彭罗斯发现了 非周期性的 镶嵌结构-它们仍然在各个方向上无限地延续,但看上去 决不会 完全相同。这些称为 彭罗斯瓷砖 ,并且你只需要几种不同的多边形即可创建一个:

移动滑块以显示此镶嵌的基础结构。注意你如何拥有不同尺度的相同图案:黄色的小正五边形、蓝色的星星、橙色的菱形和绿色的“船”,以它们原来的尺寸,稍大的尺寸 以及 更大的尺寸出现在其中。这种自相似性可以用来证明这种彭罗斯瓷砖是非周期性的。

彭罗斯(Penrose)纯粹是出于娱乐目的而探索镶嵌,但事实证明,某些真实材料(如铝)的内部结构遵循类似的模式。该图案甚至被用在厕纸上,因为制造商注意到可以将非周期性的图案卷起而没有凸起。

Archie