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镶嵌

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多边形在自然界中无处不在。如果要平铺较大的区域,它们特别有用,因为可以将多边形组合在一起而没有任何间隙或重叠。像这样的模式称为镶嵌

蜂窝

Sinaloan牛奶蛇皮

叶子的细胞结构

北爱尔兰巨人之路的玄武岩柱

菠萝皮

乌龟的壳

从古罗马到现在,人类已经在艺术,建筑和技术中复制了许多自然形态。这里有一些例子:

路面图案

英格兰伊甸园项目的温室

马赛克在阿罕布拉

伦敦大英博物馆的屋顶

悉尼蜂窝镶嵌馆

爬行动物平面规则分割的研究

在这里,您可以使用常规多边形创建自己的镶嵌。只需将新形状从侧边栏拖动到画布上即可。哪些形状的镶嵌效果好?有没有完全不细分的形状?尝试创建有趣的模式!

Examples of other students’ tessellations

来自常规多边形的镶嵌

您可能已经注意到一些规则的多边形 (例如 )非常容易镶嵌,而其他 (例如 )似乎根本没有棋盘格。

这与其内角的大小有关,这是我们之前学过计算的。在细分中的每个顶点处 ,多个不同多边形的内角相交。我们需要所有这些角度加起来达到°,否则将存在间隙或重叠。

triangles

三角形 因为6×60°= 360°

squares

因为4×90°= 360°

pentagons

五角大楼 因为108°的倍数加起来不会等于360°。

hexagons

六边形 因为3×120°= 360°

您可以类似地检查,就像五边形一样,具有7个或更多边的常规多边形不会细分。这意味着细分的唯一规则多边形是三角形,正方形和六边形!

当然,您可以将不同种类的规则多边形组合在一起进行细分,前提是它们的内角之和最多为360°:

Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 120° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 60° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons, squares and triangles
120° + 90° + 90° + 60° = 360°

Octagons and squares
135° + 135° + 90° = 360°

Dodecagons (12-gons) and triangles
150° + 150° + 60° = 360°

Dodecagons, hexagons and squares
150° + 120° + 90° = 360°

不规则多边形的镶嵌

我们也可以尝试使用不规则多边形制作棋盘格,只要小心旋转和排列它们即可。

事实证明,您不仅可以细分等边三角形,还可以细分任何三角形 !尝试移动此图中的顶点

三角形内角的总和为°。如果我们每个角度使用细分中每个顶点重复 ,我们得到360°:

更令人惊讶的是, _任何四边形_也可以细分!它们的内角总和为°,所以如果我们每个角度使用细分中的每个顶点重复 ,我们得到360°。

五角大楼有点棘手。我们已经看到_普通的_五边形 ,但非规则呢?

pentagons-1
pentagons-2
pentagons-3

这是五边形镶嵌的三个不同示例。它们不是规则的 ,但它们是完全有效的5边多边形。

到目前为止,数学家仅发现了15种带有(凸)五边形的方格图-最近是在2015年发现的。没人知道是否还有其他方格,或者这15种是唯一的……

艺术镶嵌

Tessellations是许多艺术家,建筑师和设计师(最著名的是荷兰艺术家MC Escher)的工具和启发。埃舍尔的作品包含奇怪的,变异的生物,图案和风景:

“Sky and Water I” (1938)

“Lizard” (1942)

“Lizard, Fish, Bat” (1952)

“Butterfly” (1948)

“Two Fish” (1942)

“Shells and Starfish” (1941)

这些艺术品通常看起来既有趣又轻松,但其基本的数学原理与以前相同:角度,旋转,平移和多边形。如果数学不正确,则镶嵌将无法正常工作!

“Metamorphosis II” by M. C. Escher (1940)

彭罗斯瓷砖

到目前为止,我们看到的所有镶嵌图都有一个共同点:它们是周期性的 。这意味着它们由规则模式组成,该模式会一次又一次地重复。它们可以在所有方向上永远持续下去,并且到处看起来都一样。

在1970年代,英国数学家和物理学家罗杰·彭罗斯Roger Penrose)发现了非周期性的棋盘格结构-它们仍然在各个方向上无限地延续,但看上去_从未_完全相同。这些称为__Penrose拼贴 ,并且您只需要几种不同的多边形即可创建一个:

Move the slider to reveal the underlying structure of this tessellation. Notice how you have the same patterns at various scales: the small yellow pentagons, blue stars, orange rhombi and green ‘ships’ appear in their original size, in a slightly larger size and an even larger size. This self-similarity can be used to prove that this Penrose tiling is non-periodic.

彭罗斯(Penrose)纯粹是出于娱乐目的而探索镶嵌,但事实证明,某些真实材料(如铝)的内部结构遵循类似的模式。该图案甚至被用在厕纸上,因为制造商注意到可以将非周期性的图案卷起而没有凸起。