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三角形与三角学三角形全等

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现在我们来检查给定三条边是否可以构成一个三角形,让我们来想一下是如何通过这些边构造三角形的。

画一个边长分别为4厘米、5厘米和6厘米的三角形。

在旁边这个长方框内,先画出三角形6厘米的最长边。 现在我们已经得到三角形三个顶点中的其中两个顶点了 -- 接下来的挑战是找到最后一个顶点。

以其中一个顶点为圆心画一个半径为4厘米的圆, 以另一个顶点为圆心画再画一个半径为5厘米的圆。

三角形的第三个顶点是两个圆的 现在我们简单的将顶点连接起来就形成了一个三角形。

两个圆实际上相交了一次在顶部相交,一次在底部相交,我们可以选择其中一个,这两个三角形是

全等的条件

有没可能构造一个 不同的 三角形,其三条边与已知三角形均相等呢?

我们刚刚在上面已经看到两个不同的三角形,但它们是全等的,事实上,任何两个边长相同的三角形都是全等的。这就是三角形 SSS全等条件,SSS代表(边-边-边:Side-Side-Side)。

有两个针对三角形的条件:"AA"表示两个三角形,"SSS"表示。下面有几个全等的条件:

如果两个三角形满足以下任何一个条件,就说它们全等:

SSS

所有边均相等

SAS

两条边及它们的夹角相等

ASA

两个角及它们的夹边相等

AAS

两个角及它们的夹边之外的一条边相等

你可以把这些条件看作是检查两个三角形是否全等的「捷径」 ,只需要检查是否满足上面其中的一个条件。

一旦你 知道 两个三角形是全等的,你就知道它们所有对应的边和角都是相等的,这通常被称为CPOCT ,或 "Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent"(全等三角形对应的各分部分也全等)。

值得注意的是,所有的条件要么由边要么角来组成的 !

Constructing Triangles

在本章的开头我们知道,如果已知三条形,我们就可以去构造一个三角形,类似地,如果知道上面的全等条件其中任意一个,我们也可以构造出三角形。

SAS

即将推出 – 动画

画出边长为5厘米,4厘米,并且它们之间的夹角为40°的三角形。

像之前一样,我们从画三角形的一条边(比如说5厘米的边)开始。

接下来,以刚画的这条边其中一个端点为准,用量角器测量40°的角度,用一个点来进行标注。

我们可以把端点与新的这个点连接起来,画出第二条边。

我们知道这条边为3厘米,因此用直尺进行测量并标出三角形的第三个顶点。

最后,我们可以连接最后两个顶点,完成三角形的构造。

当然,我们也可以先画出3厘米的边,或者选择另一个顶点来画40°角,不过所有这些选择画出的三角形都应该是全等的。

ASA

即将推出 – 动画

画一个三角形,有两个角的角度为70°和50°,它们的夹边为5厘米。

使用尺子测量5厘米,先画出第一条边。

以刚画的边其中一个端点为准,用量角器进行测量70°的角,在另一个端旁测量50°的角(只要在同一侧,具体哪边不重要,因为得到的三角形是全等的)。

将所画边的端点与刚刚测量角时标记的点连接起来,就可以得到一个三角形。

AAS

即将推出 – 动画

Draw the triangle that has angles of 40° and 50°, and an included side of length 5cm. 画出角度为40° 和 50°

Again, we’ll start by constructing the first side of the triangle, which is 5cm long.

And again, we’ll use a protractor to measure an angle of 40° around one of the endpoints, and draw the second side of the triangle. However, we don’t yet know where this side will end.

Instead, let’s pick any point around this line, pretend it’s the third vertex of the triangle and measure an angle of 50°.

As you can see, this doesn’t quite work: the third side does not yet link up with the vertex A. To fix this, we simply have to shift it: we draw a parallel line that goes through A. (You already learned how to construct parallel lines in a previous course.)

Now the two angles at the top are alternate angles, so they must be congruent and both 50°. We can erase the incorrect, first line to get our completed AAS triangle.

SSA

The SSA construction is slightly different. You might have noticed that “SSA” was not in the list of congruence conditions above, so comparing SSA is two triangles is not enough to confirm they are congruent. This will show you why:

COMING SOON – Animation

Draw the triangle that has sides of 4cm and 5cm, and a non-included angle of 50°.

Like always, let’s start by drawing the first side of the triangle which is 5cm long.

Next, let’s measure an angle of 50° around one of the endpoints and draw the second side of the triangle. However, we don’t yet know where this side will end.

The third side has o be 4cm long. Using a protractor we can draw a circle of radius 4cm around the other endpoint of the original side.

The final vertex of the triangle is formed by the intersection of the circle and the second line. However, in this case, there are two intersections!

These two triangles are clearly not congruent. This means that there are two different triangles that have sides of 4cm and 5cm, as well as a non-included angle of 50°. SSA is not enough to confirm two triangles are congruent.