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三角形与三角学正弦与余弦定理

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到目前为止,你所学到的关于三角学的知识只能用在直角三角形上,但大多数三角形并不是直角三角形,这里有两个对所有三角形都适用的重要结论

正弦定理
对于具有边 abc 以及角ABC 的三角形来说,满足:

sinaa=sinbb=sincc

余弦定理
对于具有边 abc 以及角ABC 的三角形来说,满足:

c2=a2+b22abcosC
b2=c2+a22cacosB
a2=b2+c22bccosA

即将推出 – 证明,示例及应用

大三角勘察

你还记得在引言中的介绍中有提到寻找地球上最高山峰的任务吗?有了三角函数,我们终于有了做这件的工具!

在印度的测量员从 相距5公里两个不同的位置点测量了到山顶的角度,结果为 23° 29°

由于 角 α是一个补角,它的角度一定是°现在我们可以利用三角形内角和的公式来计算出 角 β°

现在我们知道了三角形的所有三个角 ,还有 其中一条边,已经可以利用 去找到距离 d了:

sin151°=sin
d=sin151°×5sin
=23.2 km

还有最后一步:让我们来看看这个巨大的直角三角形,我们已经知道了斜边的长度,但我们真正需要的是我们可以利用 正弦的定义来求得:

sin23°=
height=sin23°×23
=8.987 km

这已经非常接近珠穆朗玛峰的实际高度8,848米了。

这种解释大大简化了数学家和地理学家在大三角勘察中所做的非凡工作,他们从海滩的海平面开始,测量了数千公里的距离,建造了遍布全国的测量塔,甚至计算了地球的曲率。