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三角形与三角学毕达哥拉斯定理

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现在我们来到几何学中一个非常重要的内容 -- 理解数学中最著名的 定理 之一:毕达哥拉斯定理,该定理是以古希腊数学家毕达哥拉斯命名的。

毕达哥拉斯定理 在任意直角三角形中,斜边 (与直角相对的一边)长度的平方等于另外两边的平方和,换句话说,

a2 + b2 = c2

反之亦然:如果三角形的三条边满足 a2+b2=c2,它一定是 三角形

直角无处不在,这也是为什么毕达哥拉斯定理如此有用的原因。

在这里你可以看到一个 6米 长的梯子斜靠在墙边,梯子的底离墙有 1米 远,问墙底到梯子顶部有多远?

注意,梯子、墙壁和地面组成了一个直角三角形,运用毕达哥拉斯定理,可以得到

h2+12 =62
h2 =
h =35=5.92米

任意情况下,只要你有一个直角三角形,并且知道它的两条边,毕达哥拉斯定理可以帮你得到第三条边。

证明毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯定理为古巴比伦人、美索不达米亚人、印度人和中国人所熟知,但毕达哥拉斯可能是第一个从数学上正式证明它的人。

事实上有许多不同的方法来证明毕达哥拉斯定理,这里我们来看其中三个,每一个都使用了不同的策略来完成证明:

重新组合

看看右图,正方形的边长为 a + b ,它里面包含四个直角三角形,以及一个面积为小正方形

现在让我们对正方形中的三角形进行重新组合,结果仍然包含这四个直角三角形,以及两个面积大小为 的正方形。

比较重组 和重组 红色区域的面积大小,我们可以看到:

a2+b2=c2.

这是毕达哥拉斯 的原始证明。

代数

这里我们有一幅一样的图,但这次我们将使用 代数 而不是 重新排列 来证明毕达哥拉斯定理。

大正方形边长为 a+b ,面积为

大正方形由四个三角形以一个小正方形组成,每个三角形的面积为 ,小正方形的面积为

如果把这些信息结合起来,可以得到:

a+b2 =4×12ab+c2
a2+2ab+b2 =2ab+c2
a2+b2 =c2

我们再一次证明了毕达哥拉斯定理。

相似三角形

这里你可以看到一个直角三角形,画出它的高,高将其分成两个小三角形,也将三角形的斜边 c 分成 两小段,分别命名为 xy 继续

让我们把两个小三角形分开,这样可以更清楚地看到它们之间的关系... 继续

两个小三角形与原来的三角形有一个共用角,它们都有一个直角,根据 AA 条件判定,这里的三个三角形一定

现在我们可以使用我们已经知道的相似三角形公式:

xa=ac

x=a2c

yb=bc

y=b2c

继续

c = x + y,因此

c=a2c+b2c

c2=a2+b2

我们再一次证明了毕达哥拉斯定理

关于毕达哥拉斯的生平很多是未知的,也没有什么原始的作品留存下来,他创立了一个宗教学派 -- 毕达哥拉斯学派 ,对数字痴迷到几近崇拜,他们认为所有的数字都有其自身的特性,并遵循着各种奇怪的习俗。

毕达哥拉斯学派有许多数学发现,包括发现第一个 无理数2。无理数不能用简单的分数来表示 -- 毕达哥拉斯学派发现了这个令人不安的概念,并试图掩盖它(但没有成功)!

“Pythagoreans celebrate sunrise” by Fyodor Bronnikov

计算距离

毕达哥拉斯定理一个重要的应用就是计算距离。

在右侧你可以看到坐标系中有两个点,我们可以用尺子测量它们的距离,但这并不是特别准确,但我们可以使用毕达哥拉斯定理。 继续

我们可以很容易计算出沿 x 轴的 水平距离和沿 y 轴的 垂直距离,如果画出这两条线,我们就得到了一个直角三角形

利用毕达哥拉斯定理,

d2 =${b.x-a.x}2+${b.y-a.y}2
d2 =${(b.x-a.x)*(b.x-a.x) + (b.y-a.y)*(b.y-a.y)}
d =${(b.x-a.x)**2+(a.y-b.y)**2}=${round(distance(a,b),4)}

这个方法适用于计算 任意 两点之间的距离:

距离公式
如果给定两个坐标点 (x1,y1) 和 (x2,y2),它们之间的距离是

d2=x2x12+y2y12

d=x2x12+y2y12

毕达哥拉斯三元组

当你移动三角形的顶点时,可能已经注意到,大多数情况下,斜边 d 的长度为 然而,有几个直角三角形的例子,它们三条边的长度恰好是整数

一个著名的例子是 3-4-5 三角形,由于 32+42=52,因此边长为3,4,5的三角形一定是直角三角形。

古埃及人不知道毕达哥拉斯定理,但他们知道 3-4-5 三角形。在建造金字塔的时候,他们使用的就是长度为3,4,5的打结绳来测量完美直角。

像这样的三个整数就叫做毕达哥拉斯三元数(中文里又叫勾股数),(3, 4, 5)就是一组毕达哥拉斯三元数,如果把每个数字乘以2,我们可以得到另一个毕达哥拉斯三元数:(6, 8, )。

我们可以把这些三元数看作坐标系中的网格点,对于一个有效的毕达哥拉斯三元组来说,从原点到网格点的距离必须是整数,在下面的坐标系中,你能找到其它的毕达哥拉斯三元组吗?

${a.x}
${a.y}
${round(a.length,2)}

你注意到这些点的分布有什么规律吗?

Archie